аудитории — я понял, что профессор Купер уже начал читать лекцию. Не успел я достать тетрадь из сумки, как уже на целую страницу конспекта оказался позади.
В обед лирики слонялись по внутреннему дворику главного корпуса, разбившись на группы по три- четыре человека. Разговор тяготел к простым формам общения. 'Ты откуда? Чем занимался до поступления в Стенфорд?' Я решил присмотреть себе компанию, которую хотелось тогда видеть такой же несчастной и жалкой, как и я сам в ту пору.
Я попробовал было поговорить с довольно бойкой женщиной из Бостона, но выяснилось, что она все лето готовилась к математике, ходя на еще одни математические курсы. 'У меня муж сам учился в бизнес- школе, прежде чем получил место преподавателя в Гарварде, — сказала она. — 'Анна, — говорил он мне, — тебе надо научиться решать линейные уравнения в голове'. Так что я приняла для этого меры'.
Я завел беседу с однокурсником, который выглядел, будто ему едва-едва исполнилось двадцать лет. 'А-а, это-то? — пренебрежительно отмахнулся он. — Да просто так, освежиться и все. У меня еще дипломником было навалом математики, в Йеле'.
Тройка загорелых, мускулистых ребят циркулировала по дворику в надежде составить волейбольную команду бизнес-школы, чтобы поставить на место студентов с юрфака. 'Законники — щенки, — утверждал один из них, подбивая меня записаться. — Мы их всех задавим'. Когда я застенчиво отказался, ссылаясь на трудности маткурса Купера, они хором подарили мне внимательный взгляд, после чего отвернулись обсуждать спорт.
А потом я нашел Конора О'Флагерти.
Конор был рыжеват и худощав. Ирландец, он оставил за собой неоконченную аспирантуру в Дублине, специализируясь в философии, и знал про математику не больше моего. Конор стоял во дворике помаргивая, периодически поправляя сползавшие на нос очки и раздумывая о тех изменениях, которые ему придется сделать, чтобы вписаться в общую струю бизнес-школы.
— Уж не знаю, как мне удастся учиться, — посетовал он. — У меня жена работает в консульстве и мы живем в Пасифик-Хайтс, прямо в самой середине Сан-Франциско. На дорогу уйдет час сюда и столько же обратно. А раз у нас еще маленький сын, то, вернувшись вечером домой, мне придется тратить время, исполняя отцовские обязанности.
Мы с Конором пообедали вместе и, возвратясь в класс, я перетащил свои книжки и табличку с именем со старого места, чтобы сидеть теперь возле него. Рядом с Конором было легче. Он оказался в еще более глубокой яме, чем я.
— Многие из вас все еще рассматривают математику как нечто потустороннее и сложное, — сказал Купер, приступая к послеобеденному занятию. — Поэтому мне хотелось бы ненадолго отойти от учебного плана и продемонстрировать на практике, как математика может помочь вам мыслить.
Он положил подбородок в щепоть ладони и исподлобья уставился на нас. 'Если взять лист бумаги, — продолжил он, — сложить его вдвое, потом опять вдвое и проделать это общим число тридцать два раза, то какой толщины окажется эта стопка?' Он поднял женщину с переднего ряда.
— Где-то дюйма два? — сказала она.
— Неверно! — отреагировал Купер с ликующим видом. Он вызвал мужчину с заднего ряда.
— Фут толщиной? — сказал тот.
— Неверно! — И Купер продолжил поднимать студентов.
— Два фута? Три фута?
Купер затряс головой:
— Правильный ответ, дамы и господа, таков: лист бумаги станет толщиной чуть более 271 мили. Следите за мной.
Оборотясь к доске, Купер увлек нас за собой в математику. Пачка бумаги в 500 листов имеет толщину порядка двух дюймов, стало быть, у каждого отдельного листа толщина составляет 2/500, т. е. порядка 0,004 дюйма. Сложенный вдвое один раз, бумажный лист имеет двойную толщину; после второго перегиба у него толщина четырех листов, после третьего — восьми листов. Два, четыре и восемь можно также представить степенями двойки: два в первой степени, два во второй степени и два в третьей.
— После 32-кратного складывания, — продолжил Купер, — толщина будет равна двум в 32-й степени, или 4 294 967 296 листов. Умножив это число на 0,004, получаем 17 179 869 дюймов. Семнадцать миллионов сто семьдесят девять тысяч восемьсот шестьдесят девять дюймов составляют собой 1 431 655 футов. А один миллион четыреста тридцать одна тысяча шестьсот пятьдесят пять футов равны примерно 271 миле.
— Дамы и господа, получить правильный ответ интуитивно невозможно. Но зато математика подведет вас к нему через коротенькую серию вычислений.
Даже мне пришлось признать, что Купер-таки продемонстрировал то, чего добивался. Математика в состоянии предоставить компактный, мощный инструмент для анализа. На минуту я даже испытал нечто вроде озарения: лирик, мельком ощутивший поэзию математики. Затем Купер вернулся обратно к учебной программе, начал обсуждать системы совместных линейных уравнений и точно так же совместно, то бишь по ходу дела, оставил меня за кормой.
Нудный труд, перемежаемый краткими, быстротекущими минутами просветления, стал типичной моделью занятий 'математического лагеря'. Мы прогрызались сквозь линейные уравнения, выписанные в X-Y координатах декартовых диаграмм, через векторы, вбиравшие в себя математику величины и направления, и сквозь теорию вероятностей, «определяемую», как подчеркивал Купер, 'строго в терминах генеральных совокупностей' и иллюстрируемой стопками диаграмм Венна. Потом Купер мог предложить какой-то конкретный пример или намек и мне, по крайней мере, на мгновение, удавалось различить что-то из полезности и красоты математики.
Как-то после обеда Купер сказал нам, чтобы каждый написал свой день рождения на листке бумаги, сложил его вдвое и передал вперед. Он поднял над головой пятидолларовую банкноту. 'Держу пари, что как минимум у двоих из вас один и тот же день рождения. Желающие есть?'
— Ставлю свои пять, — сказал один из волейболистов. Еще семь-восемь человек выложили по пять долларов на свои столы. Поразмыслив, я решил, что раз в году 365 дней, но в классе только порядка 50 студентов, Купер давал нам шанс выиграть легкие деньги. Однако, убедившись за последние несколько дней, что все мои ответы оказывались неверными, свои доллары я оставил нетронутыми в заднем кармане. Купер развернул первый лист и вслух прочел дату. Поднялись три руки. Студенты, выложившие деньги, застонали, в то время как все прочие кругом смеялись.
Углубив нас в математику, Купер продемонстрировал, что в группе нашего размера вероятность совпадения двух дней рождений превышает 90 процентов.[2] Затем он отложил кусочек мела и прошелся по комнате, собирая урожай пятидолларовых банкнот. 'Один из уроков, которые мы хотим вам здесь преподать, — жизнерадостно сообщил он, — это тот факт, что строгие математические рассуждения могут принести большую выгоду'.
По окончании каждого послеполуденного занятия я совершал небольшие пробежки по кэмпусу, чтобы рассеяться. Потом покупал себе в буфете кусок пиццы с банкой диетической пепси и шел обратно в Вилбур- холл, общежитие для студентов, к которому я был приписан вплоть до начала основного курса.
В моей комнате имелись две металлические кровати, по типу армейских, с замызганными матрасами, еще пара больших, помятых металлических столов и два обшарпанных деревянных шкафа. Здесь я пригибал гусиную шею заржавленной лампы ближе к своим книгам и начинал решать задачи.
Задачи, например, вот такого типа:
Если связь между совокупными затратами и числом изготовленных единиц продукции линейная, и если затраты увеличиваются на $5 при изготовлении каждой единицы продукции, и если совокупные затраты на выпуск 100 единиц продукции составляют $600, то каким уравнением будет описываться связь между совокупными затратами и количеством изготовленных единиц продукции?
Или, скажем, мне встречалась такая задача:
Какие значения x удовлетворяют следующему уравнению?
