Странности цифр и чисел.

V(1² + 1²) = V(1 + 1) = V2 = = 1,4142. Эта формула вытекает из теоремы Пифагора и используется при вычислении длины диагонали прямоугольника.

С помощью теоремы Пифагора строители и архитекторы разработали легкий метод построения прямых углов. Например, египтяне использовали веревки с узелками, завязанными с равными интервалами, формируя 12 одинаковых частей. Эта веревка закреплялась, образуя треугольник со сторонами из 3, 4 и

5 частей. Угол напротив 5 части и являлся прямым, так как 5² = 3² + 4².

Отношение диагонали квадрата к его стороне = 1,4142.

Однако V2 известен как иррациональное число, понятие, в которое отказывался верить Пифагор. Иррациональное число — это число, которое не может быть выражено в виде дроби, например х/y, где х и у — целые числа. Один из его учеников, пытаясь выразить V2 в виде дроби, понял, что это невозможно, и ввел понятие «иррациональные числа». По легенде, его утопили за дерзость по указанию Пифагора.

1,618

*************************************************************************************** ******

1,618 — «золотое число» фи.

А сейчас вопрос для вас. Что общего у следующих вещей?

Великие египетские пирамиды

Пантеон

Собор Парижской Богоматери

Подсолнух

«Тайная вечеря» Леонардо да Винчи

Скрипка Страдивари

Человеческое тело

Соотношение определенных частей всех этих объектов подчиняется закону «золотого сечения» и равно приблизительно 1,618, оно называется также числом фи (открыто Фибоначчи), «золотым числом» и божественной пропорцией. Чем больше смотришь, тем больше понимаешь его значение. Оно применяется в геометрии, математике, естественных науках и искусстве, оно определяет многие измерения в жизни — в такой, какой мы ее знаем.

Фибоначчи и звук фи

Современные исследования «золотого числа» показали, что «золотая пропорция» существует в структуре системы музыкальных звуков и поэтому может применяться для создания превосходной акустики в студиях звукозаписи. Антонио Страдивари, мастер, изготавливающий скрипки в XVII веке, не имел представления об этих исследованиях, но он применял божественную пропорцию в форме своих инструментов и достиг непревзойденного качества звука. Зато Страдивари знал, что в любой музыкальной гамме существуют гармоничные отношения между 1, 3, 5 и 8-м (октава) музыкальными интервалами, которые уже в XII веке связал с «золотым числом» итальянский математик по имени Леонардо Фибоначчи (см. ниже).

Геометрия и архитектура

Начертите линию. Затем разделите ее на два отрезка так, чтобы соотношение малого отрезка к большому было равно соотношению большого отрезка к целой линии.

Отрезки «золотой пропорции» выражаются иррациональным числом 0,618, а соотношение отрезков, как указано выше, — 1,618. То есть длинный отрезок в 1,618 раза длиннее, чем короткий отрезок, а целая линия в 1,618 раза длиннее, чем длинный отрезок. Греки называли это «обрезать линию в крайнем и среднем соотношении», но это получило более широкую известность под таким поэтичным названием, как «золотое сечение», использование «золотой пропорции». Сходство между соотношением (1,618…) и точкой пропорции линии, где вы поставили отметку, разделяющую отрезки (0,618), не заканчивается тройным многоточием; оно длится до бесконечности.

Вот первое поразительное свойство фи:

1/фи = фи — 1,

то есть 1: 1,618 * 1,618 — 1.

Такое невозможно ни с одним другим числом. Если среди вас есть математики, они выведут из этого еще одно удивительное равенство:

фи² = фи + 1,

то есть 1,618 х 1,618 * 2,618 = = 1,618 + 1.

Древние египтяне и греки обходились без помощи калькуляторов, которые дают число фи с бесчисленным множеством десятичных разрядов, и применяли его свойства.

Древние математики обнаружили, что «золотое сечение» можно получить при помощи обычной геометрии и, следовательно, применять его в любом масштабе, какой только пожелаешь, даже для строительства великих пирамид.

Вот один из способов, как это можно сделать. Нарисуем равнобедренный треугольник внутри окружности таким образом, чтобы вершины его углов лежали на линии окружности. Проведем от верхнего угла медиану, которая разделит его основание на две равные части. Теперь нарисуем линию, соединяющую середины равных сторон треугольника и пересекающую линию окружности. Точка пересечения медианы и этой линии (центр) будет вершиной прямого угла первичного «золотого треугольника», где катеты (а также отрезки от центра до середины стороны треугольника и до линии окружности) будут иметь отношение, равное фи.

Число фи выражается соотношениями между окружностью и другими правильными геометрическими фигурами, и об этом было известно древним архитекторам, которые искали идеальные пропорции для своих сооружений. Каждый, кто посещал пирамиды в Египте или Пантеон в Афинах, согласится, что они впечатляют.

Последователи древних математиков

Леонардо Фибоначчи проводил исследования на кроликах, а получилось так, что его имя вписалось в историю. Он хотел вычислить скорость увеличения их поголовья, начиная с двух молодых особей разного пола. Он начертил таблицу роста поголовья, в основе которой находилась пара одномесячного возраста, месяц спустя родилась еще одна разнополая пара, дальше все происходило в таком же порядке. Если вы попытаетесь сами произвести подобный расчет, начиная с 0, и запишете количество пар кроликов в конце каждого месяца (в данном расчете мы не учитываем возможные случаи смерти), у вас получится ряд чисел: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89. Эта числовая последовательность называется «ряд Фибоначчи» и продолжается до бесконечности. Формула очень проста: каждое число является суммой двух предшествующих чисел. Более глубокий взгляд на отношения между числами в ряду Фибоначчи показывает: чем дальше мы продвигаемся вперед по шкале чисел, тем ближе и ближе к «золотому числу» соотношение каждого числа к последующему.

Поэтому числа Фибоначчи тесно связаны с фи, «золотым сечением», и это отражается далеко за пределами созданного человеком мира математики и геометрии.

Искусство

4000 лет спустя после создания египтянами великих пирамид в Гизе художники и архитекторы эпохи Ренессанса открыли преимущества числа фи. Они использовали его в своих полотнах («Тайная вечеря») и строениях (собор Парижской Богоматери). Закон «золотого сечения» отражается в пропорциях лица и тела человека, а также во многих структурах природы. Неудивительно, что число фи называли божественной