70
Увы, все формулы для е весьма сложны. Это не просто иррациональное число, как √2 (см. главу 4), но и трансцендентное, как π (см. главу 6).
71
Разница в 1 цент объясняется тем, что в первом случае мы каждый раз округляли прибыль до сотых.
72
В первый месяц банк выплатит нам 0,8333 % процента от первоначальной суммы, то есть 8,33 %. Теперь у нас в общей сложности $1008,33.
73
На самом деле длительность года чуть больше 365 дней, но мы упростим расчеты.
74
Экспоненциальная убыль встречается в природе. Пример – радиоактивный распад атомов.
75
Восклицательный знак означает факториал. Подробнее о факториале вы можете прочесть в главе 10.
76
Примечание для тех, кто знаком с логарифмами: для того чтобы выяснить, насколько редко встречаются простые числа, когда мы рассматриваем большие величины, можно посчитать количество простых чисел между 1 и каким-нибудь крупным числом N. Важнейший результат в теории чисел показывает, что чем больше N, тем ближе количество простых чисел между 1 и N к величине где ln N – логарифм числа N по основанию e, или натуральный логарифм N. Этот результат зафиксирован в так называемой теореме о распределении простых чисел.
77
Числитель в этом выражении – пример телескопического ряда, где все слагаемые взаимно уничтожаются. Представьте себе складной телескоп, состоящий из нескольких частей. Точно так же слагаемые телескопического ряда вкладываются друг в друга.
78
Я здесь пропускаю множество этапов вывода формулы Эйлера. Я хочу просто объяснить, что значит возводить число в мнимую степень, и дать общую картину доказательства. В полном виде оно включает тригонометрические выкладки и такие сложные вычисления, которым не место в этой книге.
79
Георг Кантор (1845–1918) – немецкий математик, создатель теории множеств. Последние годы провел в психиатрической лечебнице. – Прим. пер.
80
Работы Кантора подвергались нещадной критике как со стороны математиков, так и со стороны философов и теологов. Но спустя некоторое время он добился признания как первооткрыватель новой области математики.
81
Обычно множество обозначают с помощью фигурных скобок.
82
Математики называют взаимно однозначное соответствие биекцией.
83
Нам не обязательно знать все элементы |A| или |B|, чтобы констатировать, что |A| = |B|.
84
Это множество натуральных чисел, его обычно обозначают ℕ. – Прим. науч. ред.
85
Вот две задачки. Какое число будет стоять справа на сотой строке перечня? Какое число слева будет соответствовать числам 100 и –100 справа? Ответ – в конце главы.
86
При первом чтении главы эти два абзаца можно пропустить. Мы уточняем одну техническую деталь, чтобы сделать аргументацию полной и неуязвимой.
87
Символ א обозначает первую букву древнееврейского алфавита: алеф. Символ читают «алеф нуль».
88
Вообще говоря, из сказанного это не следует; существование таких чисел надо специально доказывать. – Прим. науч. ред.
89
Этот подход, известный как наивная теория множеств, использовал Кантор и другие математики.
90
Может ли одно множество быть элементом другого? Разумеется! Скажем, множество {1, 2} входит во множество {0, {1, 2}, 3, 6, 7}. В этом множестве пять элементов: числа 0, 3, 6, 7 и множество {1, 2}.
91
Одно из многочисленных достижений Рассела – Нобелевская премия по литературе за 1950 год.
92
Этот парадокс называют антиномией Рассела.
93
Этот подход известен под названием «аксиоматическая теория множеств». Общепринятые правила поведения и формирования множеств названы в честь своих создателей, Эрнста Цермело (Ernst Zermelo) и Абрахама Френкеля (Abraham Fraenkel): ZF-аксиомы.
94
Если хоть одно такое множество существует, |ℝ|>алеф_1. – Прим. науч. ред.
95
Эта глава повествует о знаменитых числах Фибоначчи: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21 и т. д. Этот ряд был назван в честь Леонардо Пизанского, больше известного как Фибоначчи. (Леонардо Пизанский (1170–1250) – один из первых крупных математиков средневековой Европы. Прозвище Фибоначчи означает «сын Боначчи». Автор «Книги абака», излагающей десятичную систему счисления. – Прим. пер.)
96
В задаче о квадратах и домино мы выяснили: F1 = 1, а F2 = 2. Но числа Фибоначчи начинаются с F0 = 1. Как это согласуется с условиями задачи? Сколько существует способов заполнить на тех же условиях рамку 0 × 1? Длина квадрата и длина костяшки домино, как
