202
Флэш (англ. flush – «масть»): пять любых карт одной масти. – Прим. пер.
203
Набор k элементов в произвольном порядке из n элементов в комбинаторике называют сочетанием из n по k и рассчитывают по формуле
В нашем случае
204
Предположим, вы попали в категорию людей, где 25 % поражены болезнью. Какова вероятность того, что вы заражены, если результат тестирования положительный? Ответ – в конце главы.
205
Этот раздел предназначен для тех, кто уже изучал теорию вероятностей и хочет освежить свои знания. Другие читатели могут листать до следующего раздела.
206
По особому случаю (лат.). – Прим. пер.
207
Томас Байес (1702–1761) – британский пресвитерианский священник, богослов и математик. – Прим. пер.
208
В фокусе нашего внимания только те функции, которые преобразуют числа в числа. В целом функции превращают любые математические объекты в любые математические объекты.
209
Отображение – просто синоним термина «функция».
210
Математики называют такие системы динамическими: нам дано начальное состояние и правило, по которому система меняется со временем.
211
Колеблется, пульсирует (от лат. oscillari – качаться). – Прим. пер.
212
Лотар Коллатц (1910–1990) – немецкий математик, специалист по теории аппроксимации. – Прим. пер.
213
Лотар Коллатц выдвинул эту гипотезу в 1937 году.
214
Более сложная система выборов подразумевает, что избиратели отмечают, насколько сильно они предпочитают одного кандидата другому.
215
Мы будем использовать термин «профиль предпочтений» для совокупности индивидуальных голосов.
216
Важно не смешивать метод принятия решения (например, правило большинства) со свойствами, которыми он обладает (например, нейтральность учета голосов). Разные методы могут обладать каким-то одним свойством, но отличаться другими. Мы высвечиваем разницу, используя полужирное начертание для обозначения метода и курсив для обозначения свойства.
217
Отмечу, что правило диктатора удовлетворяет требованию нейтральности учета кандидатов.
218
Вот формальное определение монотонности. Мы называем метод принятия решений монотонным, если перемена решения одного избирателя в пользу победителя не меняет итога выборов.
219
Правило диктатора, конечно, однозначное: оно никогда не заводит в тупик.
220
Кеннет Мэй (1915–1977) – американский математик, экономист и историк математики. Защитил диссертацию по математической теории трудоустройства. Придерживался коммунистических взглядов. – Прим. пер.
221
В терминологии Мэя – нейтральность, анонимность, положительный отклик и однозначность. – Прим. пер.
222
В этом разделе мы рассматриваем выборы, на которых может быть несколько победителей. Нет ничего необычного в том, что из длинного списка выбирают двух и более победителей. Распространенный пример – выборы в школьный совет.
223
Я максимально упрощаю ситуацию Можно себе представить, что избиратель симпатизирует A, равнодушен к B и C и полностью отвергает кандидатуру D. Так или иначе, мы рассчитываем, что избиратель все-таки ранжирует их. Математики рассматривают более сложные ситуации, но мы с вами ограничимся самой простой моделью.
224
Если в выборах участвуют k кандидатов, существует k! возможностей распределения приоритетов (см. главу 10).
225
Этот метод назван в честь Жана-Шарля де Борда, французского математика XVIII века. Подсчет по методу Борда в случае четырех кандидатов делается так: первый приоритет избирателя приносит кандидату 3 очка, второй – 2, третий – 1, четвертый – 0 очков. Количество очков в случае пяти кандидатов будет 4, 3, 2, 1 и 0 соответственно. Обратите внимание, что в случае двух кандидатов метод Борда ничем не отличается от правила большинства.
226
Кеннет Джозеф Эрроу (1921–2017) – американский экономист, лауреат Нобелевской премии по экономике за 1972 год «за новаторский вклад в общую теорию равновесия и теорию благосостояния». – Прим. пер.
227
Точнее, ни один метод не удовлетворяет одновременно четырем критериям: нейтральности учета избиртелей, нейтральности учета кандидатов, монотонности и независимости от посторонних альтернатив. – Прим. науч. ред.
228
Уильям Ньюком (? – 1999) – профессор теоретической физики Ливерморской национальной лаборатории Калифорнийского университета. Двоюродный праправнук астронома и математика Саймона Ньюкома, первооткрывателя закона Бенфорда (см. главу 14). – Прим. пер.
229
Эту головоломку придумал Уильям Ньюком. Впервые она была обнародована в научной статье Роберта Нозика. Широкая аудитория узнала о ней благодаря колонке Мартина Гарднера в журнале Scientific American.
230
Возможно, вы думаете, что 95 % – слишком высокий уровень предсказуемости. Ну и ладно, позже мы понизим оценку до 51 %, и вы увидите, что это нерезультативно. Поэтому, пожалуйста,
