25 этюдов о шифрах

(x³ + 7x⁷ + 3x + a)

на число 10, где a,b — фиксированные натуральные числа. Выяснить, при каких значениях a и b возможно однозначное расшифрование.

6. Фирма предложила на рынок кодовый замок. При установке владелец замка сопоставляет каждой из 26 латинских букв, расположенных на клавиатуре, произвольное натуральное число (известное лишь обладателю замка). После выбора произвольной комбинации попарно различных букв, происходит суммирование числовых значений набранных букв и замок открывается, если сумма делится на 26. Докажите, что для любых числовых значений букв существует комбинация, открывающая замок.

7. Рассматривается шифр, в котором буквы русского 30-буквенного алфавита Ω занумерованы по следующей таблице:

А Б В Г Д Е Ж З И  К  Л  М  Н  О  П  Р  С  Т  У  Ф  Х  Ц  Ч  Ш  Щ  Ь  Ы  Э  Ю  Я
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

Для зашифрования сообщения τ = t₁t₂...t< sub>n выбирается некоторая последовательность κ = γ₁γ₂...& #947;_n (ключ), состоящая из букв алфавита Ω. Зашифрование состоит в позначном сложении соответствующих букв из τ и κ с последующей заменой суммы буквой алфавита Ω, номер которой равен остатку от деления этой суммы на число 30.

Известно, что два сообщения τ₁ и τ₂ зашифрованы с помощью одного ключа (κ) и что каждое из них содержит слово «корабли». Восстановить τ₁ и τ₂ по текстам данных криптограмм:

σ₁=ЮПТЦАРГШАЛЖЖЕВЦЩЫРВУУ

σ₂=ЮПЯТБНЩМСДТЛЖГПСГХСЦЦ

8. Перехвачена «шифровка»: РБЬНПТСИТСРРЕЗОХ

Относительно шифра известно следующее:

— используется шифр предыдущей задачи;

— в качестве ключа используется произвольная последовательность, составленная из букв: А,Б,В.

Прочтите зашифрованное сообщение.

9. Шифр простой замены в алфавите A = {a₁, a₂,..., a_n}, состоящем из n различных букв, заключается в замене каждой буквы шифруемого текста буквой того же алфавита, причем разные буквы заменяются разными. Ключом шифра простой замены называется таблица, в которой указано, какой буквой надо заменить каждую букву алфавита A. Если слово СРОЧНО зашифровать простой заменой с помощью ключа:

АБВГДЕЖЗИКЛМНОПРСТУФХЦЧШЩЪЫЭЮЯ

ЧЯЮЭЫЫЦШЦХФУБДТЗВРПМЛКАИОЖЕСГН,

то получится слово ВЗДАБД. Зашифровав полученное слово с помощью того же ключа еще раз, получим новое слово ЮШЫЧЯЫ. Сколько всего различных слов можно получить, если указанный процесс шифрования продолжить неограниченно?

10. Сообщение, зашифрованное в пункте А шифром простой замены в алфавите из букв русского языка и знака пробела (_) между словами, передается в пункт Б отрезками по 12 символов. При передаче очередного отрезка сначала передаются все его знаки, стоящие на четных местах в порядке возрастания их номеров, начиная со второго, а затем — все знаки, стоящие на нечетных местах, также в порядке возрастания их номеров, начиная с первого. В пункте Б полученное шифрованное сообщение дополнительно шифруется с помощью некоторого другого шифра простой замены в том же алфавите, а затем таким же образом, как и из пункта А, передается в пункт В. По перехваченным в пункте В отрезкам:

СО_ГЖТПНБЛЖО
РСТКДКСПХЕУБ
_Е_ПФПУБ_ЮОБ
СП_ЕОКЖУУЛЖЛ
СМЦХБЭКГОЩПЫ

УЛКЛ_ИКНТЛЖГ,

восстановите исходное сообщение зная, что в одном из передаваемых отрезков зашифровано слово КРИПТОГРАФИЯ.

11. Дана последовательность C₁, C₂, C₃, ..., C_n, ..., в которой C_n есть последняя цифра числа nⁿ. Доказать, что эта последовательность периодическая и ее период равен 20.

12. Знаки алфавита, состоящего из букв русского языка и символа пробела между словами (_), заменим парами цифр согласно таблице:

 А  Б  В  Г  Д  Е  Ж  З  И  К  Л  М  Н  О  П  Р  С  Т  У  Ф  Х  Ц  Ч  Ш  Щ  Ь  Ы  Э  Ю  Я  _
01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31

Для зашифрования сообщения длины m, записанного в этом алфавите, сначала преобразуем буквенный текст в цифровой T = t₁, t₂, ..., t_2m,а затем, выбрав отрезок K = C_n+1, C_n+2, ..., C_n+2m последовательности из задачи 11, осуществим последовательное поразрядное сложение цифр текста T с цифрами отрезка K, причем в качестве очередного знака шифрованного текста берется цифра единиц соответствующей суммы (младший разряд).

Прочитайте зашифрованное сообщение:

2 3 3 9 8 6 7 2 1 6 4 5 8 1 6 0 6 7 0 6 1 7 3 1 5 5 8 8.

,

* * *

1

David Kahn, Codebreakers. The story of Secret Writing. New- York, Macmillan, 1967.

2

Т.А. Соболева. Тайнопись в истории России. (История криптографической службы России XVIII — начала XX в.). М., 1994.

3

У. Диффи, М. Э. Хеллмэн. Защищенность и имитостойкость. Введение в криптографию. ТИИЭР, т. 67, N 3, 1979.