Статьи

не зафиксирован на стержне, он вообще не поворачивается на своей оси, он лишь вращается с угловой скоростью всей конструкции, будучи жестко закрепленным на той же оси, но истина будет очевидна после более детального изучения этого вида движения.

Пусть система вращается, как было принято и проиллюстрировано вначале, когда шары не закреплены на стержнях, и пусть стержни постепенно закрепляются, вызывая трение, которое медленно уменьшает и, в конце концов, препятствует скольжению. На начальном этапе все части каждого шара перемещались со скоростью центра тяжести, но так как подшипниковое сопротивление всё более и более заявляет о себе, поступательная скорость частиц, находящихся ближе к оси О, будет убывать, в то время как таковая диаметрально противолежащих частиц будет возрастать, пока не будут достигнуты максимальные значения этих изменений, когда шары прочно закреплены. В этом процессе мы, таким образом, отбираем массы у частиц, находящихся ближе к центру движения, и тем самым кинетическую энергию поступательного движения, в то же время добавляем к энергии тех частиц, которые находятся дальше и, очевидно, что прирост окажется бoльшим, чем потеря, так что фактическая скорость каждого шара в целом возрастет. Только за счет этого мы имеем возрастание кинетической энергии системы, а не по причине осевого вращения шаров. Энергия Е каждого из них есть исключительно энергия поступательного движения с фактической скоростью V_e, определенной выше, так что Е = ?MV_e?. Осевые вращения шара в любом из двух направлений лишь кажущиеся; они не имеют какой бы то ни было реальной основы и не требуют никакого механического усилия. Только в том случае, когда действует независимая внешняя сила, чтобы вращать ротативное тело на его оси, эта энергия проявит себя.

В этой связи следует указать, что при истинном осевом вращении неподвижно закрепленной и однородной массы все симметрично расположенные частицы вносят равный вклад в количество движения, что в данном случае не имеет места. Тот факт, что не существует даже малейшей тенденции к такому движению, может быть без труда доказан.

Ил. 6. Чертеж, представляющий шар с массой М и радиусом r, вращающийся вокруг центра О, служит для теоретического исследования движения Луны

Для этого я сошлюсь на иллюстрацию 6, где представлен шар М с радиусом r и с центром С, находящимся на расстоянии R от оси О; шар разделен на две равные части тангенциальной плоскостью pp, как показано, при этом нижняя часть сферы заштрихована для распознавания. Кинетическая энергия шара, при условии, что он совершает n оборотов в секунду вокруг О, определяется согласно первому варианту выражения как E = ?MV_e? = ?M(2?R_gn)?, где M — масса, a R_g — радиус вращательного движения. Но, как говорилось в пояснении к иллюстрации 4, мы также имеем выражение Е = ?MV? + ?I_e??, где V = 2?Rn есть скорость центра тяжести С, а I_e — момент инерции шара, находящегося в окрестности параллельной оси, проходящей через С и равный ²/₅Мi?, так что Е = ?М (2?Rn)? + ¹/₅Мr? (2?n)?. Ни одно из этих двух выражений для E не характеризует фактическое состояние тела, но первое, конечно, предпочтительнее, так как передает в сущности идею единого движения вместо двух, из которых одно не имеет основы для существования. Я берусь прежде всего доказать, что не существует вращающего момента, или вращательного усилия, вокруг центра С, и что кинетическая энергия воображаемого осевого вращения шара в математическом смысле равна нулю. Это приводит к необходимости считать две половины, разделенные тангенциальной плоскостью pp, полностью независимыми одна от другой. Пусть с₁ и с₂ будут их центрами тяжести, тогда С_c1 = С_c2 = ³/₈r. Чтобы определить кинетическую энергию полусфер, мы должны найти их радиусы движения по окружности, что можно сделать, определив моменты инерции I_c1 и I_с2 в окрестности параллельной оси, проходящей через с₁ и с₂. Можно избежать сложных вычислений, если помнить, что момент инерции любой из полусфер в окрестности оси, проходящей через С, выражается формулой Ic = ? ? ²/₅Mr? = ¹/₅Mr?, и поскольку М = 2 т, то I_c = ²/₅mr?. Это можно выразить через моменты I_c1 и I_с2, а именно: I_c = I_с1 + m(³/₈r)? = I_c2 + m (³/₈r)?. Следовательно, I_c1 = I_c2 = I_c — m (³/₈r)? = ²/₅mr? — ⁹/₆₄mr? = ⁸³/₃₂₀mr?. Следуя этому же правилу, можно найти моменты инерции полусфер в окрестности оси, проходящей через центр движения О.

Определяя моменты для верхних и нижних половин шара, соответственно, I_O1 и I_O2, мы получим I_O1 = m(R + ³/₈r)? + I_с1 = m(R + ³/₈r)? + ⁸³/₃₂₀mr? и I_O2 = m(R — ³/₈r)? + I_с2 = m(R — ³/₈r)? + ⁸³/₃₂₀mr?

Таким образом, для верхней половины сферы радиус движения по окружности

и для нижней половины