Черная маска из Аль-Джебры

Мы было хотели бросить, но тут появилась моя мама. Пришлось рассказать, в чем дело. А она давай смеяться! А когда отсмеялась, спросила:

— Неужели вы не знаете, что такое факториал?

— Знаю! — выпалил я, вспомнив ваше письмо. — Это оркестр восклицательных знаков.

Мама стала смеяться снова. А потом сказала, что факториалы могут, конечно, играть в оркестре. Но это не мешает им оставаться математическим знаком. Его ставят после какого-нибудь числа. И тогда он показывает, сколько чисел натурального ряда надо перемножить. Вот например: если написать 3! — значит, надо перемножить все числа натурального ряда от единицы до трех включительно: 3! = 1 × 2 × 3 = 6

А записывается это так, чтобы было покороче. Задумали перемножить числа от единицы до миллиона — пожалуйста: пишем 1000000! Коротко и ясно.

А еще мама сказала, что слово «факториал» произошло от латинского слова «фактор». По-нашему это «производящий действие». Вот факториал и производит перемножение чисел натурального ряда.

Ну, это я запомнил сразу. Одного только никак не мог понять: при чем здесь разноцветные береты?

— А вот при чем, — сказала мама. — Если вы хотите узнать, сколько раз надо переставить семь Нуликов в разноцветных беретах, чтобы сделать все возможные перестановки, надо вычислить факториал числа семь, то есть перемножить все числа натурального ряда от единицы до семи. Стали перемножать и получили большущее число: 7! = 1 × 2 × 3 × 4 × 5 × 6 × 7 = 5040.

Пять тысяч сорок! Пять тысяч сорок перестановок! А мы сделали всего 527. Ужас!…

Хорошо, что в разноцветных беретах явились всего семь Нуликов. А что если бы двадцать семь? Пришлось бы вычислять факториал двадцати семи. Нет уж, дудки! Хотите — считайте сами. А я не буду.

Всего вам хорошего. С нетерпением жду новых сообщений.

Нулик-Факториал.

Репортаж со стадиона (Сева — Нулику)

Внимание, внимание! Говорят все радиостанции Аль-Джебры! Начинаем репортаж с Центрального стадиона. Здесь сейчас будут выступать самые юные гимнасты страны. Слышите гул приветствий? Это на поле выбегают дошкольники — латинские буковки а в зеленых костюмах, за ними буковки b, — они в красном, и, наконец, с — в светло- желтом. Они образуют несколько рядов и замирают. Теперь каждая из них не просто буква. Здесь она называется одночлен.

Сверху нам открывается чудесное зрелище: пестрый прямоугольник из букв. Но вот грянул оркестр факториалов. Звучит вальс, и прямоугольник приходит в движение. Буквы делают шаг в сторону. Одни вправо, другие влево. Потом они берутся за руки, и вот уже перед нами десятки разноцветных пар: аb, ас, bc.

Зеленое с красным, желтое с зеленым, красное с желтым…

Юные гимнасты показывают действие, которое называется перемножением одночленов. Разумеется, никаких знаков умножения при этом нет. Каждый младенец в Аль-Джебре знает, что если две буквы стали рядом, значит, они помножены друг на друга.

Не подумайте только, что от перемножения буквы превратились в двучлены. Боже упаси! Это грубая ошибка! Они как были, так и остались одночленами.

Но вот идет новая перестановка. Теперь буковки объединяются по три: abc, acb, bac, bca, cab, cba.

Легко догадаться, что это тоже произведения и каждое из них опять-таки одночлен.

Умножение одночленов закончилось. Буквы снова заняли первоначальные позиции. Оркестр играет веселую полечку. На стадионе появляются знаки сложения и вычитания. Плюсы и минусы занимают места между буковками-одночленами: а + b, b + с, a — b, b — с.

Вот когда буквы из одночленов превратились в двучлены. Но не успели зрители как следует полюбоваться этой картиной, как буквы образуют уже другие суммы: a + b — c, a + c — b, а — b — c…

Теперь это уже трехчлены. Жаль, что в упражнениях принимают участие только а, b и с. Будь здесь другие буквы, мы увидели бы еще более сложные алгебраические суммы.

Внимание! Начинается новое упражнение. Забавно! Очень забавно! Знаки плюс стали между одинаковыми буквами. Сейчас сложились семь буковок а, и… о чудо! Вместо семи осталась только одна. Остальные шесть исчезли на наших глазах, а вместо них на поле появилось число Семь. Оно стало слева от буквы а, и весь стадион хором прочитал: «семь а».

Это волшебное алгебраическое упражнение называется приведением подобных. Оно возможно только тогда, когда все слагаемые действительно подобны, то есть совершенно одинаковы. Какая экономия места, времени и чернил! В Аль-Джебре очень любят экономию. В самом деле, к чему писать а + а + а + а + а + а + а, если можно записать коротко и ясно: 7а.

Семерка немного важничает. Оно и понятно: ведь она одна заменила шесть одинаковых букв и ей присвоено почетное звание числового коэффициента при букве а.

Ага! Другим буквам это тоже понравилось. Они просят плюсы занять места между ними. И вот число букв стремительно уменьшается. Вместо них на поле появляются числа-коэффициенты. Вместе с оставшимися буквами они образуют одночлены: 12b, 8а, 24abc, 3bс, и так далее.

Их зорко охраняют рыцари-коэффициенты.

Упражнениям нет конца! Только что на поле образовался многочлен abc + abc + abc + abc + abc + abc, как мигом произошло приведение подобных и появился верный рыцарь — коэффициент шесть: 6abc.

Но что это? Оркестр замолкает… Понимаю: сейчас произойдет перегруппировка и начнется новое упражнение. В самом деле: минусы и плюсы покидают поле под дружные аплодисменты. Буковки снова образовали пестрый прямоугольник. Но теперь в первом ряду стоят буквы в зеленом, во втором — в красном, в третьем — в светло-желтом. Они повторяют самое первое упражнение — перемножение одночленов. Только теперь все сомножители одинаковые. И опять происходят чудеса. Как только две одинаковые буквы перемножатся, одна из них сейчас же исчезает, а на поле появляется число Два. Буква протягивает руку, и Двойка ловко вскакивает к ней на ладошку: а2.

Вы думаете, число Два называется коэффициентом? Ничего подобного! Это показатель степени. Вы уже с ним знакомы. Ведь упражнение, которое сейчас проделывают буквы, — это возведение в степень!

Вот перемножились три b, и получилось Бэ в кубе: b³.

Десять с, перемножившись, образовали одночлен — Цэ в десятой степени: с¹⁰.

Одна комбинация сменяется другой. Перед нами возникают: a²⁵, b⁴⁰, c¹⁶, a⁶

И вот появляется Цэ в степени эн: сⁿ.

Это уже что-то новое. Правда, только на первый взгляд. Мы ведь уже знаем, что буквами обозначаются числа. Цэ в энной степени означает Цэ, возведенное в любую степень. Подставьте вместо эн любое число — и ответ готов.

Музыканты после небольшой паузы снова заиграли вальс. Начались самые пластичные, самые замысловатые гимнастические упражнения: умножение многочленов на одночлен. Вот уже образовались двучлены: а + b, а + с, потом трехчлены: а + b + с и много других. Сейчас они начнут умножаться на одночлены… Но в чем дело? Произошла какая-то заминка. Музыка смолкла. Ага! Теперь все ясно: оказывается, многочлены не могут ни на что умножаться, если их предварительно не заключить в скобки. Иначе может выйти ужасная путаница: никто не узнает, где тут одночлен, а где многочлен.

На поле появляются круглые скобки. Они становятся по бокам каждого многочлена. Ну вот, все в