другие таблицы, в которых приводились значения 2/3 разных чисел, хотя мы не знаем, как они выглядели. И только в поздние времена появились таблицы со значениями дробей 1: 7, 2: 7[58], 3: 7 и т. д., как суммы делителей [59].
Раскладывание числа 2, деленного на нечетные числа от 5 до 47, таковы:
Не всегда понятно, почему египтяне предпочли именно эти значения для деления 2, хотя имеется много других. По-видимому, эти таблицы были составлены с учетом опыта многих поколений, а приведенные значения дробей – наиболее легкими для использования.
Таким образом, египетский метод умножения и деления представлял собой систему проб и ошибок, состоявших из удвоения, деления на две части и умножения на две трети. Сначала определяли две трети какого-то количества и уже на основе этого, в случае необходимости, вычисляли одну треть, одну шестую и т. д. Процесс определения двух третей от целого числа не представлял особых трудностей. Что касается дробей, то древний метод заключался в прибавлении половины к одной шестой части. Так, 2/3 от 1/5 равняется 1/10 + 1/30, аналогичным образом, 2/3 от составляло 1/22 + 1/66. Почему египтяне в первую очередь не определяли одну треть нужного количества, мы не можем объяснить. Умножение на число, превышавшее 2 (за исключением 10), производилось, вероятно, очень редко. Папирус Ринд, представляющий собой более или менее продвинутую работу, почти не приводит примеров простого умножения или деления. Повсюду видно странное стремление все усложнять, и почти везде опущены этапы, очевидные для египтян, но часто непонятные для современного ума. Ниже приводятся примеры простого умножения и деления, выполненных древним способом, которые содержатся в папирусе Ринд и помогут читателям понять, в чем заключается проблема, поскольку ряд этапов в этих операциях опущен.
(Способ сложения дробей объясняется ниже.)[60]
2) Получить 49 из 11 (разделить 49 на 11) 1 (умноженное на 11 дает) 11
Два, полученное из 11, – это 1/6 1/66 Найдено (см. таблицу дробей)
Сколько двоек укладывается в 5
Ответ 21/2
Умножить 1/6 1/66 на 21/2
Всего 21/2» Ответ: 1/3 1/11 1/33
Прибавить число 4 Конечный ответ 41/3 1/33.
Мы видим, что решение заключается в следующем: 1) сначала выясняют, сколько раз 11 содержится в 49 и каков остаток, 2) а затем, зная значение 2: 11, находят, умножая его на 21/2, значение остатка, или 5, разделенное на 11.
3) Задача № 30 из папируса Ринд
Если писец говорит тебе:
«10 стало 2/3 1/10 от какого числа?
То пусть он услышит:
Ты используешь 2/3 1/10, чтобы определить 10[61]
Всего, количество, которое называет это 131/23.
(Доказательство)
Всего 10
Следует отметить, что процесс сложения дробей и определения, каким образом дробь 2/3 1/10 составляет 1/30, не приведены. Другие задачи, однако, приводят весь ход сложения дробей, который в принципе мало отличается от современного способа приведения их к общему знаменателю. В задаче № 32, приведенной в папирусе Ринд, необходимо сложить целый ряд дробей, чтобы доказать, что их сумма равна 1/4. Процесс решения заключается в следующем [62]:
Всего: 228 (т. е.) 1/4
Профессор Пит объясняет ход решения тем, что «все дроби или делители, по-видимому, были приведены к самому большому делителю, а именно к 912: под каждой дробью красным написано число, показывающее, сколько раз число 912 входит в него. Как мы видим, это число не всегда является целым. Этот этап, должно быть, требовал подсчетов, которые в задачах на папирусе всегда опускаются. Красные числа суммируются и дают 228, которое представляет собой 1/4 от 912. Таким образом, сумма всех дробей действительно составляет 1/4…».
В задаче № 30 папируса Ринд, которую мы привели выше, процесс сложения дробей гораздо более простой и, по-видимому, выглядел так:
Сумма (для дробей) составляет 29, давая результат суммы дробей, равный единице без 1/30, а для всей задачи сумму, близкую к 10.
Второй этап решения задачи, который опускается при ее описании, заключается в определении, сколько раз 1/30 входит в 2/3 1/10. Это выясняется путем обычного деления, и ход решения мог быть таким:
С другой стороны, вполне возможно, что египтянин мог сразу определить, что три раза по 1/30 составляет 1/10, и его подсчеты могли быть такими:
Профессор Пит объясняет этот этап так: «Поскольку 2/3 1/10 равно 23/30 – а это действие полностью опущено, то ответ должен быть 1/23». Выполнение этого действия в ходе цепи рассуждений заставило, по-видимому, профессора решить, что египтянин понимал, что означает 23/30, или представлял себе эту дробь как 23 части из тридцати. Это является логическим выводом из его метода сложения дробей путем приведения их к общему знаменателю. Если бы это было так, он смог бы выразить эту дробь только в виде ряда множителей, который мог при необходимости восполнить дробью 2/3.
В папирусе Ринд приводится совершенно ненужное, с нашей точки зрения, число примеров умножения и деления, которое мы, с помощью алгебры, могли бы выразить несколькими пояснительными строчками или одной формулой. Причиной этого является тот факт, что задача, решаемая методом проб и ошибок, создает свои, только ей присущие трудности, причем некоторые из них требуют большой ловкости для разрешения.
Уравнения первой степени решались египтянами простым методом проб и ошибок. Знали они также и уравнения второй степени, в которых имелось одно неизвестное. В Берлинском папирусе приводится задача – разделить 100 квадратных локтей на два квадрата, стороны которых соотносились друг с другом как 1 к 3/4.
Знали египтяне и возведение во вторую степень, и извлечение квадратных корней. Первый процесс – это простое умножение, второй же заключался для самых простых чисел в длинной серии проб. В Берлинском папирусе приводятся квадратные корни для 6 1/4 и 11/2 1/16.
Хотя древнее значение соотношения длины окружности к ее диаметру, или число п, и не встречается в математических папирусах, однако в папирусе Ринд дан пример (№ 50) определения площади круга. Способ заключался в вычислении 1/9 диаметра и возведении полученного числа во вторую степень. Сейчас мы выразили бы это формулой A = (8/9 D)2. Эта формула дает значение, близкое к реальному. Египтяне получили площадь круга, равную 0,7902
