Лобачевский

треугольниках. Однако и на этом пути, как мы знаем, его ждала неудача. Еще слишком низок был уровень измерительной техники. И все же Лобачевский проникся глубоким убеждением, что теоремы эвклидовой геометрии не наилучшим образом выражают геометрическую структуру всего мирового пространства. Он занялся созданием новой геометрии.

Тысячи раз проделывал он мысленный эксперимент, обращался к чертежам.

Пусть на плоскости даны прямая а и точка р. Проведем через точку р прямую х, которая пересекает нашу прямую а, например, в точке х₀. Будем вращать прямую х из ее начального положения в плоскости, положим, против часовой стрелки. Тогда точка пересечения х будет скользить по прямой, уходя все дальше вправо. В конце концов наступает единственный момент, в который прямая х вовсе не пересекает прямую а, то есть в этом случае прямая x становится параллельной нашей прямой а, или эвклидовой параллелью (если прямую х вращать дальше против часовой стрелки, то ее точка пересечения с прямой а появится далеко налево от точки х₀).

Аксиома Эвклида утверждает, что существует единственное положение, при котором прямая х вовсе не пересекает прямую. Но так ли это на самом деле? Вот над чем задумался Лобачевский.

Возьмем на чертеже положение, когда вращающаяся прямая х неограниченно приближается к эвклидовой параллели.

Пусть угол β отличается от 90° на ничтожную, исчезающе малую долю градуса — α. Сможем ли мы теперь с уверенностью сказать, что прямая х обязательно пересечет прямую a? Где? За пределами чертежа? Или же в бесконечности, куда не удалось заглянуть никому даже при помощи самых сильных телескопов? В практике нам доступны лишь отрезки прямых, незначительные протяжения. Рассмотреть прямые во всей их бесконечной протяженности никто не может.

Таким образом, мысленный эксперимент не приводит к положительному результату. Аксиома о параллельных не так уж очевидна, как кажется на первый взгляд.

Когда мы рассуждаем о прямой, то прообразом ее считаем обычно луч света. Но как ведут себя лучи света в безграничности вселенной, каковы истинные свойства пространства?..

И Насирэддин Туси, и Ламберт, и Саккери, и Лежандр, и многие другие становились в тупик перед тем фактом, что допущение, будто сумма углов в треугольнике может быть меньше 180°, не ведет к противоречию при доказательстве. Им думалось, что во всем этом кроется логическая ошибка. «Здравый смысл» не хотел мириться с «мнимым», казалось бы, произвольным постулатом: через точку, взятую вне прямой, можно провести по крайней мере две параллельные данной прямой. Они слишком доверяли «здравому смыслу», наглядности. Не хватало смелости, а возможно, именно гениальности преодолеть многовековую инерцию мышления, умения высвободиться от пут трехмерного пространства эвклидовой геометрии.

По замечанию одного современного ученого, человек рождается и умирает в трехмерном мире; в детстве он знакомится с трехмерным пространством, двигая руками и ногами; в школе он изучает эвклидову геометрию, позже обзаводится трехмерной квартирой с трехмерной мебелью. За миллиарды лет эволюции выживали только те организмы, которые были наилучшим образом приспособлены к трехмерному пространству, природа снабдила нас мозгом, который специально приспосабливался к общению с трехмерными существами, с трехмерным миром. Даже полет смелой мысли никогда не выходил за пределы плоской трехмерности.

Математик, решая задачу привычной эвклидовой геометрии, может справиться с ней легко; так создается впечатление, будто для решения ее не требуется уж слишком большого жизненного опыта. Мы как-то забываем о миллиардах лет эволюции, о нашем многовековом приспособлении к трехмерности. Ведь на самом деле, математик приводит в своей голове в движение весь опыт, накопленный не только им, но и всеми предыдущими поколениями. И все лишь для доказательства пустячной теоремы…

Какой же мощью ума нужно обладать, чтобы разорвать паутину привычных представлений, подняться до высших обобщений и абстракций, разрушить одним мановением руки все то, что создано тысячелетней косностью, направить весь ход естествознания по новому пути!..

Может существовать бесконечное множество различных геометрий! — вот к какому выводу приходит Лобачевский. Ворота в этот необыкновенный мир я открою вам волшебным ключиком — своим новым постулатом. «Употребительная», или эвклидова, геометрия — всего лишь предельный случай некой звездной геометрии. Я утверждаю, что отрицание зависимости между отрезками и углами в эвклидовой геометрии неполно описывает свойства пространства. На самом деле такая зависимость существует.

«В нашем уме не может быть никакого противоречия, когда мы допускаем, что некоторые силы в природе следуют одной, другие — своей, особой геометрии! Нельзя сомневаться, что силы все производят одни: движение, скорость, время, массу, даже расстояния и углы. С силами все находится в тесной связи, которую, не постигая в сущности, не можем утверждать, будто в отношение разнородных величин между собой должны только входить их содержания. Допуская зависимость от содержания, почему не предполагать и зависимости прямой?.. Когда верно, что силы зависят от расстояния, то линии могут быть также в зависимости с углами. По крайней мере разнородность одинакова в обоих случаях, которых различие не заключается собственно в понятии, но только в том, что мы познаем одну зависимость от опытов, а другую при недостатке наблюдений должны предполагать умственно, либо за пределами видимого мира, либо в тесной сфере молекулярных притяжений».

Это уже предвосхищение всех великих открытий в естествознании грядущего!

Лобачевский первый понял, что в основе наиболее важных математических образов лежат какие-то пространственно-временные формы реального мира; и отношение между этими формами и математическими образами является весьма сложным.

Еще не определены расстояния даже до ближайших звезд и никто не знает истинных масштабов вселенной, еще не создана теория относительности, пользующаяся четырехмерным обобщением пространства, еще отсутствует представление о кривизне пространства, а Лобачевский смело утверждает, что форма геометрии зависит от физических свойств материи, наличие тяготеющих масс обусловливает геометрические свойства и в то же время эти свойства определяют движение тел. Когда он говорит «сила», то имеет в виду материю. Он впервые тесно связывает геометрию с физикой.

Он поднялся над своим веком, сделался величайшим мыслителем всех времен.

Но этого пока никто не знает. Да и суждено ли им, людям плоского эвклидова пространства, окружающим гения, познать когда-либо всю грандиозность его открытий?!.

НЕЭВКЛИДОВА ГЕОМЕТРИЯ

Она рождается в муках. Существа эвклидова мира не дают работать, сосредоточиться. У них свои заботы. Они копошатся в мусоре своих мелких дел, молятся своему богу, выкрикивают Лобачевскому в лицо свои гаденькие постулаты. Особенно донимает архимандрит Гавриил, в миру Василий Воскресенский. Архимандрит молод, почти ровесник Лобачевскому. Искушен в философии. Лекции пересыпает изречениями Платона, Аристотеля, Канта. К Николаю Ивановичу его притягивает, словно магнитом. Даже в достижениях науки и техники Гавриил старается видеть премудрость божию. Электричество, магнетизм, свет — не особые формы движения материи, а духовные силы, предшествующие материи. Математика имеет божественное происхождение. Тут уж Гавриил рьяно ссылается на Пифагора и Канта.

— Кант не был математиком, — замечает Николай Иванович. — Не признаю никаких трансцендентальных аперцепций. Как могу согласиться с Кантом, что пространство — не свойство природы,