{351}
те элементы, из которых должны быть выведены функция и уравнение для конкретного, для непрерывной величины.
Для решения задач, в которых по преимуществу оказывается выгодным употреблять этот прием, требуют, чтобы в виде элемента наличествовало в качестве исходного пункта некое само по себе определенное, в противоположность непрямому ходу решения, поскольку последний может начинать лишь с пределов,»между которыми лежит то само по себе определенное, нахождение которого он ставит себе целью. Полученный результат сводится в обоих методах к одному и тому же, если только оказывается возможным найти закон все дальнейшего и дальнейшего определения, при отсутствии возможности достигнуть полного, т. е. так называемого конечного определения. Кеплеру приписывается честь, что ему впервые пришла, в голову мысль прибегнуть к указанному обратному ходу решения и сделать исходным пунктом дискретное. Его объяснение того, как он понимает первую теорему архимедова измерения круга, выражает это очень просто. Первая теорема Архимеда, как известно, гласит, что круг равен прямоугольному треугольнику, один катет которого равен радиусу, а другой — длине окружности. Так как Кеплер находит смысл этой теоремы в том, что окружность круга содержит в себе столько же частей, сколько точек, т. е. бесконечно много, из которых каждая может рассматриваться как основание равнобедренного треугольника, то он этим выражает разложение непрерывного в форму дискретного. Встречающееся здесь выражение «бесконечное» еще очень далеко от того определения, которое оно должно иметь в диференциальном исчислении. Если для таких дискретных найдена некоторая определенность, функция, то в дальнейшем они должны быть соединены, должны по существу служить элементами непрерывного. Но так как никакая сумма точек не образует линии, никакая сумма линий не образует плоскости, то точки уже с самого начала принимаются за линейные, равно как линии за плоскостные. Однако, так как вместе с тем указанные линейные точки еще не должны быть линиями, чем они были бы, если бы их
{352}
принимали за определенные количества, то их представляют себе как бесконечно-малые. Дискретное способно лишь к внешнему объединению, в котором моменты сохраняют смысл дискретных одних; аналитический переход от последних совершается лишь к их сумме, он не есть вместе с тем геометрический переход от точки к линии и?? линии к плоскости и т. д. Элементу, имеющему свое определение как точка или как линия, придается поэтому вместе с тем наряду с качеством точки еще и качество линейности, а линии — еще и качество плоскости, дабы сумма как сумма маленьких линий оказалась линией и как сумма маленьких плоскостей — плоскостью.
Потребность получить этот момент качественного перехода и для этого прибегнуть к бесконечно- малым должна быть рассматриваема как источник всех тех представлений, которые, имея своим назначением устранить указанные трудности, сами по себе представляют величайшую трудность. Чтобы сделать излишними эти крайние способы устранения затруднения, должна была бы иметься возможность показать, что в самом аналитическом приеме, представляющемся голым суммированием, на самом деле уже содержится умножение. Но здесь появляется новое допущение, составляющее основу в этом приложении арифметических отношений к геометрическим фигурациям, а именно, допущение, что арифметическое умножение представляет собою также и «для геометрического определения переход в некоторое высшее измерение, что арифметическое умножение величин, являющихся по своим пространственным определениям линиями, есть вместе с тем продуцирование плоскостного определения, из линейного; трижды четыре линейных фута равно 12 линейным футам, но 3 линейных фута, помноженные на 4 линейных фута, дают 12 плоскостных и притом квадратных футов, так как в обоих как дискретных величинах единица — одна и та же.
Умножение линий на линии представляется сначала чем-то бессмысленным, так как умножение производится вообще над числами, т. е. над такими определениями, которые совершенно однородны с тем, во что они переходят, с про- 353 изведением, и лишь изменяют свою величину. Напротив, то, что называлось бы умножением линии как таковой на линию — это действие называли ductus Jineae in Iineam, равно как plani in planum, оно есть также ductus puncti in Iineam, — есть изменение не только величины, но изменение их как качественного определения, пространственности, как измерения; переход линии в плоскость должен быть понижаем, как выход первой вовне себя, равно как выход точки вовне себя есть линия, выход плоскости вовне себя — некоторое целое пространство. То же самое получается, когда представляют себе, что движение точки образует линию в т. д.; но движение подразумевает определение времени и поэтому выступает в этом представления лишь как случайное внешнее изменение состояния; здесь же мы должны брать ту определенность понятия, которую мы выразили как выход вовне себя — качественное изменение — и которая арифметически является умножением единицы (как точки и т. д.) на численность (на линию и т. д.)* К этому можно еще прибавить то замечание, что при выходе вовне себя плоскости», что представлялось бы умножением площади на площадь, получается видимость различия между арифметическим и геометрическим произведением «таким образом, что выход вовне себя плоскости, как ductus plani in planum, давал бы арифметически умножение второго измерения на второе, следовательно, четырехмерное произведение, которое, однако, геометрическим определением понижается до трехмерного. Если, с одной стороны, число, так как оно имеет своим принципом единицу, дает твердое определение для внешне количественного, то, с другой стороны, свойственное числу продуцирование настолько же формально; взятое как числовое определение 3–3, помноженное само на себя, есть 3-3-3-3; но та же величина, помноженная на себя как определение площади, удерживается на 3-3-3, так как пространство, представляемо© как выход за себя, начинающийся от точки, этой лишь абстрактной границы, имеет как конкретную определенность, начинающуюся с линии, свою истинную границу в третьем измерении. Упомянутое выше различие могло бы получить действительное значение в отно- 23 Гегель, той V, Наука логики
{354}
шении свободного движения, в котором одна сторона, пространственная, определяется геометрически (в законе Кеплера— s3:/2), а другая, временная, арифметически.
В чем состоит отличие рассматриваемого здесь качественного от предмета предыдущего примечания, теперь само собою ясно и без дальнейших объяснений. В предыдущем примечании качественное заключалось в степенной определенности; здесь же это качественное, равно как и бесконечно-малое, есть лишь множитель (в арифметике) относительно произведения, точка относительно линии, линия относительно плоскости и т. д. Долженствующий же быть сделанным качественный переход от дискретного, на которое, как представляется, разложена непрерывная величина, к непрерывному осуществляется как суммирование.
Но что якобы простое суммирование на самом деле содержит в себе умножение, следовательно, переход из линейного в плоскостное определение, это проще всего обнаруживается в том способе, каким например показывают, что площадь трапеции равна произведению суммы ее двух параллельных сторон на половину высоты. Эту высоту представляют себе лишь как численность некоторого множества дискретных величин, которые должны быть суммированы.
Эти величины суть линии, лежащие параллельно между теми двумя ограничивающими трапецию параллельными линиями; их бесконечно много, ибо они должны составлять площадь, но они суть линии, которые, следовательно, для того, чтобы быть чем-то плоскостным, должны быть вместе с тем положены с отрицанием. Чтобы избегнуть трудности, заключающейся в том, что сумма линий должна дать в результате плоскость, линии сразу же принимаются за плоскости), но равным образом за бесконечно-тонкие, ибо они имеют свое определение исключительно в линейном элементе (in dem Linearen) параллельных границ трапеции. Как параллельные и ограниченные другой парой прямолинейных сторон трапеции они могут быть представлены как члены арифметической прогрессии, разность которой остается вообще той же самой, но не обязательно должна быть определена, а первый и последний член которой суть указанные две па-
{355}
раллельные линии; сумма такого ряда равна, как известно, произведению этих параллельных линий на половинную численность членов. Это последнее определенное количество называется численностью лишь совершенно относительно, лишь сравнительно с представленном о бесконечно-многих линиях; оно есть вообще определенность величины некоторого непрерывного — высоты. Ясно, что то, что называется
