Я возвращаюсь от этого отступления к самому сложению. Соответствующий ему отрицательный вид исчисления, вычитание, есть в свою очередь совершенно аналитическое отделение чисел, которые, как и в сложении, определены лишь как вообще неравные в отношении друг друга.
2. Ближайшим определением является равенство тех чисел, над которыми должно быть произведено действие нумерации. Благодаря этому равенству эти числа суть единицы, и в числе появляется различие единицы и численности. Умножение имеет задачей сосчитать воедино численность таких единиц, которые сами суть тоже численности.
При этом безразлично, какое из двух чисел принимается за единицу и какое за численность, безразлично, говорим ли мы четырежды три, где четыре есть численность, а три — единица, или, наоборот трижды четыре. — Мы уже указали выше, что первоначальное нахождение произведения совершается посредством простого процесса нумерации, т. е.
сосчитывания на пальцах и т. д.; получающаяся позднее способность непосредственно указать произведение покоится на собрании таких произведений, на таблице умножения и знании ее наизусть.
Деления есть отрицательный вид исчисления согласно тому же определению различия. Здесь также безразлично, какой из двух факторов, делитель ли или частное, мы примем за единицу и какой за численность. Делитель принимается за единицу, а частное — за численность, когда задачей деления объявляется желание узнать, сколько раз (численность) некоторое одно число (единица) содержится в данном числе; наоборот, делитель принимается за численность, а частное за единицу в том случае, когда говорят, что требуется разделить некоторое число на данную численность одинаковых частей и найти величину такой части (единицы).
3. Те два числа, которые определены одно относительно другого как единица и численность, еще непосредственны относительно друг друга и потому вообще неравны. Даль-
{231}
нейшим равенством служит равенство самих единицы и» численности; таким образом, поступательное движение к равенству тех определений, которые заключаются в определении числа, завершено. Считание согласно этому полному равенству есть возведение в степень (отрицательным видом исчисления служит здесь извлечение корня) и притом ближайшим образом возвышение в квадрат; это — полная определенность нумерирования внутри самого себя, где (1) те многие числа, которые слагаются, суть одни и те же, и (2) само их множество или численность тождественно тому числу, которое берется многократно и служит единицей. Нет никаких иных определений в понятии числа, которые могли бы представлять собою некоторое различие, и не может также иметь место никакое дальнейшее выравнивание того различия, которое заключается в числе. Возведение в степени высшие, чем вторая, есть формальное продолжение, которое отчасти— при четных показателях — есть лишь повторение возведения в квадрат, и отчасти — при нечетных показателях— есть появление снова прежнего неравенства; а именно, при формальном равенстве (например, ближайшим образом в кубической степени) нового множителя как с численностью, так и с единицей, он как единица представляет собою нечто неравное по отношению к численности (по отношению к второй степени, 3 — по отношению к 3.3): еще большее неравенство имеется при кубической степени четырех, где численность (3), показывающая, сколько раз число, служащее единицей, должно быть помножено само на себя, отлична от последнего. — Эти определения имеются сами по себе, как существенное различие понятия, — численность и единица, и для того, чтобы выход из себя вполне возвратился в себя, они должны быть выравнены. В только что изложенном заключается, далее, основание, почему, с одной стороны, решение уравнений высших степеней должно состоять в приведении их к квадратным уравнениям и, почему, с другой стороны, уравнения нечетных степеней могут быть определены лишь формально, и как раз, когда корни рациональны, они могут быть найдены не иначе, как при помощи мнимых выражений, представ-
{232}
ляющих собою противоположность того, что суть и выражают собою корни. — Согласно сказанному единственно только арифметический квадрат содержит в себе всецелую определенность, вследствие чего уравнения дальнейших формальных степеней должны быть приведены к нему; точно так же, как в геометрии прямоугольный треугольник содержит в себе всецелую определенность внутри себя, выраженную в пифагоровой теореме, и поэтому для полного определения всех прочих геометрических фигур они должны быть приведены к нему.
В преподавании, подвигающемся вперед согласно логически построенному суждению, изложение учения о степенях предшествует изложению учения о пропорциях; последние, правда, примыкают к различию единицы и численности, составляющему определение второго вида исчисления, однако они выходят за пределы того одного, которое есть одно непосредственного определенного количества, в котором единица и численность суть лишь моменты; дальнейшее определение по этим моментам (37) остается для него самого также еще внешним. Число в отношении не есть уже непосредственное определенное количество; последнее имеет тогда свою определенность как опосредствование; количественное (38) отношение мы рассмотрим далее.
О вышеуказанном все дальнейшем и дальнейшем определении арифметических действий можно сказать, что оно не есть философствование о них, не есть, скажем, изложение их внутреннего значения, потому что оно на самом деле не есть имманентное развитие понятия. Но философия должна уметь различать то, что по своей природе есть внешний самому себе материал, должна знать, что в таком материале поступательное движение понятия может происходить лишь внешним образом и что моменты этого движения могут иметь бытие лишь в своеобразной форме их внешности, какова здесь форма равенства и неравенства. Различение сфер, к которым принадлежит та или другая определенная форма понятия, т. е. сфер, в которых она имеется как существование, служит существенным условием философствования о реальных предметах^ необходимым для того, чтобы мы
{233}
идеями не нарушали своеобразия внешнего и случайного и чтобы мы вместе с том не искажали этих идей и не делали их формальными вследствие несоответственности материала. Но тот внешний характер, который носит выступление моментов понятия в вышеуказанном внешнем материале, в числе, есть здесь соответственная форма; так как они представляют нам предмет в присущем ему смысле, а также ввиду того, что они не требуют никакого спекулятивного подхода и потому представляются легкими, они заслуживают применения в элементарных учебниках.
Примечание 2 [Употребление числовых определений для выражения философских понятий] Как известно, Пифагор изображал в числах разумные отношения или философемы, да и в новейшее время философия применяла числа и формы их соотношений; как, например, степени и т. п., чтобы регулировать согласно* им или выражать в них мысли. — В педагогическом отношении число признавалось наиболее подходящим предметом внутреннего созерцания, а занятие вычислением его отношений — деятельностью духа, в которой он делает наглядными свои наисобственнейшие отношения и вообще основные отношения сущности. — В какой «мере числу на самом деле принадлежит эта высокая ценность, видно из его понятия, каким оно получилось выше.
Число обнаружилось для нас как абсолютная определенность количества, а его стихия — как ставшее безразличным различие; оно оказалось определенностью в себе, которая вместе с тем положена лишь вполне внешне.
Арифметика есть аналитическая наука, так как все встречающиеся в ее предмете связи и различия не зависят от него самого, а учинены ему совершенно извне. Она не имеет конкретного предмета, который содержал бы в себе внутренние отношения, первоначально скрытые для знания, не данные в непосредственном представлении о нем, а долженствующие быть выявлены усилиями познания. Она не только не со-
{234}
держит в себе понятия и, следовательно, задачи для постигающего в понятиях (fur das begreifende) мышления, но есть его противоположность. Вследствие безразличия приведенного в связь к связи, которой недостает необходимости, мышление оказывается здесь занятым деятельностью, которая вместе с тем есть самое крайнее отчуждение от самого себя, занятым насильственной деятельностью, заключающейся в том, что оно движется в сфере безмыслия и приводит в связь то, что не способно носить характер
