Матвей Петрович Бронштейн

прямые (оси координат).

Рис. 1 Рис. 2

Первая прямая представляет изображение железнодорожного пути, вторая является той осью, на которой откладываются в известном масштабе промежутки времени. Рассмотрим какую-нибудь точку этой диаграммы, например обозначенную цифрой 1 (рис. 1). Опустим из этой точки перпендикуляры на обе оси. Перпендикуляр, опущенный на ось, изображающую железнодорожный путь, пересечет ее в точке А, а перпендикуляр, опущенный на ось времен, пересечет ее в точке, соответствующей какому-нибудь определенному моменту времени, например 4 часам пополудни. В этом случае говорят, что точка 1 соответствует событию, происходящему в 4 часа пополудни в точке А железнодорожного пути. Если по железнодорожному пути перемещается поезд, то на диаграмме возможно начертить линию, точки которой соответствуют событиям, заключающимся в прохождении поезда в определенные моменты времени через определенные места железнодорожного пути. Такая линия начерчена на рисунке. Из нее видно, что в 4 часа пополудни поезд был в точке A, в 5 часов пополудни он был в точке Б (это «событие» изображается на диаграмме точкой 2) и т. д. Построение железнодорожных графиков известно каждому школьнику. Легко видеть, что если поезд двигался по железнодорожному пути с постоянной скоростью, то график его движения изобразится на диаграмме прямой линией, если же он двигался не равномерно, то графиком будет служить кривая или ломаная линия.

Четырехмерная совокупность «событий», рассматриваемая в теории относительности Эйнштейна и введенная впервые в эту теорию знаменитым математиком Германом Минковским, представляет полную аналогию с железнодорожным графиком, с той лишь только разницей, что эта четырехмерная совокупность по вполне понятным причинам не может быть изображена графически. Изучающий теорию относительности должен мыслить таким образом, что вместо движения материальной точки в трехмерном пространстве по некоторому пути он сразу представляет себе линию, являющуюся графиком движения этой материальной точки в четырехмерной «диаграмме» Эйнштейна. Подобные представления о четырехмерной совокупности «событий» были развиты Минковским и Эйнштейном уже для «специальной теории относительности», в которой явления тяготения еще не рассматривались. Когда Эйнштейн начал работать над созданием новой теории тяготения (в 1912 г.), ему пришлось ввести новое большое усложнение. Этим усложнением было введение неевклидовой геометрии.

Рассмотрим вкратце, в чем здесь дело, и будем для простоты рассматривать снова не четырехмерную совокупность точек, с которой приходится иметь дело в теории Эйнштейна, а двухмерную, которую возможно изобразить на листе бумаги. Проведем снова две взаимно перпендикулярные оси координат и рассмотрим две точки 1 и 2 на этой диаграмме (рис. 2). Расстояние между точками 1 и 2 можно вычислить с помощью теоремы Пифагора, если даны так называемые «проекции отрезка 1 2 на координатные оси», т. е. катеты прямоугольного треугольника 12 3, проведенные параллельно координатным осям. Квадрат длины отрезка 1 2 равен сумме квадратов его проекций 1 3 и 2 3. Теорема Пифагора даст возможность вычислять длину также и любой кривой линии, проведенной на диаграмме. Для этого нужно разбить кривую линию на ряд таких мелких частей, что каждая из этих частей может приближенно рассматриваться как отрезок прямой линии (бесконечно малая дуга может быть заменена своей хордой). Вычислив длину каждого бесконечно малого отрезка прямой линии, равную квадратному корню из суммы квадратов проекций этого отрезка, мы можем сложить полученные результаты и найти таким образом длину всей кривой линии. Такое вычисление длины кривой, опирающееся на теорему Пифагора, является необходимым следствием геометрии Евклида.

Неевклидова геометрия, начало созданию которой положили сто лет тому назад Лобачевский, Гаусс и Болиаи и которая была приведена в более совершенную форму гениальным немецким математиком Берн- хардом Риманом, представляет непосредственно обобщение геометрии Евклида. Вместо того чтобы вычислять квадратный корень из суммы квадратов проекций бесконечно малого отрезка, как это делается в геометрии Евклида, неевклидова геометрия вычисляет квадратный корень из более сложного выражения, являющегося суммой не только квадратов бесконечно малых проекций, но и произведения этих проекций, причем в этой сумме каждый квадрат и произведение предварительно умножается на некоторый коэффициент. Таким образом, евклидова геометрия является тем частным случаем неевклидовой геометрии, который получится, если коэффициенты при квадратах проекций равны единице, а коэффициенты при произведении равны нулю. В неевклидовой же геометрии эти коэффициенты могут принимать различные значения в разных точках пространства. Легко видеть, что если даны значения этих коэффициентов во всех точках пространства (или, как сказал бы физик, задано «поле» этих коэффициентов), то возможно вычислить длину любой кривой линии, проведенной в этом неевклидовом пространстве. Все другие геометрические величины (углы, площади, объемы и т. д.) также возможно вычислить с помощью тех же коэффициентов, которые, таким образом, приобретают первостепенное значение для геометрических свойств неевклидова пространства. Ими, как говорят, определяется «метрика» пространства, т. е. результаты всех производимых в нем измерений. Коэффициенты эти получили довольно громоздкое название «компонентов метрического фундаментального тензора». Понятно, что вся суть заключается именно в этих компонентах. Если между двумя точками проведены две кривые линии, то, например, вопрос о том, которая из них короче, может быть решен только в том случае, если заданы значения компонентов метрического фундаментального тензора в каждой точке. Линия, которая не оказалась бы кратчайшим расстоянием между двумя точками в пространстве евклидовом, где все компоненты метрического фундаментального тензора равны или нулю или единице, может оказаться кратчайшей линией, если задано какое-нибудь другое распределение этих компонентов в пространстве, соответствующее неевклидовой геометрии.

Идея Эйнштейна, примененная им к изучению полей тяготения, заключалась в том, что четырехмерная пространственно-временная совокупность точек-событий не должна обязательно являться евклидовой, а может быть и неевклидовой. Если в какой-нибудь области пространства отсутствует поле тяготения, то согласно Эйнштейну геометрия четырехмерной пространственно-временной совокупности может считаться евклидовой. В этом случае материальная точка, на которую не действуют электромагнитные силы (т. е. не действуют никакие силы вообще, так как, кроме сил тяготения, все известные в физике силы сведены к электромагнитным), то рассматриваемая точка будет двигаться согласно закону инерции равномерно и прямолинейно.

До Эйнштейна полагали, что роль сил тяготения принципиально не отличается от роли электромагнитных сил, т. е. что действие тех и других сил состоит в сбивании материальной точки с того кратчайшего пути, по которому она двигалась бы в отсутствие сил. Эйнштейн решил этот вопрос совершенно новым и неожиданным образом. Если под силами подразумевать те причины, по которым график движения материальной точки перестает быть кратчайшей или прямейшей линией, то загадка сил тяготения получает следующее парадоксальное разрешение: сил тяготения вообще не существует! существует только свойство тяжелых тел создавать вокруг себя такие неевклидовы свойства пространства, такое, как говорят, «искривление» пространства, благодаря которому материальная точка движется в отсутствие электромагнитных сил не по тем линиям, по каким она бы двигалась в случае евклидовой метрики, а по другим.

Из предыдущего ясно, что поле тяготения является в эйнштейновой теории геометрическим свойством пространства, поскольку оно может быть вычислено по значениям тех коэффициентов, которыми определяется длина проведенных в четырехмерном пространстве Эйнштейна—Минковского кривых линий. Заслуга Эйнштейна заключается в том, что он нашел закон, которому должно удовлетворять поле этих метрических коэффициентов в четырехмерном пространстве («закон тяготения Эйнштейна»). Роль материи сводится к тому только, что присутствие материи вызывает искривление пространства и нарушение первоначальных евклидовых его свойств. Отсюда ясно, что в теории относительности Эйнштейна электромагнитные силы и силы тяготения играют принципиально различную роль: силы тяготения