там начинающий профессор Клейн в своей лекции обнародовал Эрлангенскую программу – единый подход к различным геометриям: евклидовой, аффинной, проективной. Программа эта была опубликована в статье 'Сравнительное рассмотрение новых геометрических исследований'.
Обратим внимание на интересный факт – в 1875 году Феликс Клейн вступил в брак с Анной Гегель, внучкой великого философа.
С 1875 года Клейн преподает математику в Высшей технической школе Мюнхена, затем с 1880 года в Университете Лейпцига, а с 1886 года и до самой смерти, последовавшей в 1925 году, в Геттингене.
Всю свою жизнь Клейн старался раскрыть внутренние связи между отдельными ветвями математики, а также между математикой, с одной стороны, и физикой и техникой – с другой. Его работы удивительно многообразны. Это и разрешение уравнений 5-й, 6-й и 7-й степени, и интегрирование дифференциальных уравнений, и исследования абелевых функций, и неевклидова геометрия. Каждому, кто хоть немного знаком с математикой, известна бутылка Клейна, блестящий и очень наглядный пример односторонней поверхности. В ней со всей полнотой проявился и талант математика, и дар выдающегося преподавателя.
С техникой работы Клейна связаны не только через преподавание в Высшей технической школе. В сотрудничестве с Арнольдом Зоммерфельдом (Sommerfeld 1868—1951) он написал многотомную 'Theorie des Kreisels' ('Теория волчка', 1897—1903). А недооценить роль волчков – сердец различных гироскопических приборов, начиная от компактных гирокоординаторов «Стрел» и «Стингеров» и заканчивая роторами систем ориентации космических аппаратов, – в истории прошлого и нынешнего веков просто невозможно.
Всегда и везде Клейн стремился сводить достижения науки в систему – и в редактируемом им с 1875 года журнале 'Mathematische Annalen', и в 'Энциклопедии математических наук' ('Enziklopaedie der mathematischen Wissenschaften'), в создание которой он внес огромный вклад.
И вполне понятно, что выдающийся ученый и педагог высшей школы не мог пройти мимо проблем математического образования в целом.
Гимназия старого времени
Германии как единого государства еще не существовало, а немецкие гимназии уже были лучшими в мире. Их питомцами являлись поэты Гёте и Шиллер, философы Фихте, Шеллинг и Гегель, филологи братья Гримм, историки Нибур, Эверс и Момзен. Всех их выпустила в свет классическая гимназия.
Наблюдательный сын Нового Света Марк Твен, описав вольные нравы студентов-буршей, так говорил об основе их образования: 'Было бы ошибочно думать, что у беспечного гуляки студента нет никакого ученого багажа. Напротив! Он десять лет корпел в гимназии при системе, которая не давала ему никакой свободы и принуждала работать как колодника. Так что из гимназии он вышел с полным разносторонним образованием; самое большое, что может дать ему университет, – это усовершенствование в избранной им специальности. Говорят, что, кончая здесь гимназию, молодой человек получает не только всестороннее образование, но и настоящие знания; знания эти не расплываются в тумане, они выжжены у него в мозгу навсегда. Так, он не только читает и пишет, но и говорит по-гречески и по-латыни тоже' [Марк Твен, 'Пешком по Европе', 1880, пер. Р. Гальпериной].
Итак, отмеченные Твеном настоящие знания – это владение греческим и латынью. Ключ к античной классике, к медицине и юриспруденции. Самые лучшие знания, которые может дать школа филологического типа. В маленьких германских княжествах чиновникам вполне хватало знания римского права, а ученым – сведений, почерпнутых из книг. И тогдашнюю элиту такое положение дел вполне удовлетворяло. Но время менялось. Наполеоновские войны похоронили пережившую свое время 'Священную Римскую Империю' германской нации. На сцену истории вышли народные массы, вышли новые классы – не чтущие традиции ремесленные цеха, а агрессивные предприниматели-грюндеры с их крупным машинным производством. Требовалось расширение слоя образованных практически до всего общества. Эту задачу первой решила Пруссия – ее закон об обязательных элементарных школах (Volkschulen) Бисмарк считал основой военных побед королевства, превратившегося в империю. За элементарными школами шли школы городские (Buergerschulen и Hoehere Buergerschulen), готовящие приказчиков и купцов. Система образования предусматривала 'социальные лифты' – дети рабочих могли продолжать образование в Fortbildungsschulen, где преподавание велось по вечерам или в другое удобное для учащихся время.
Полноценное среднее образование давали классические гимназии с девятилетним обучением, где, помимо прочего, гимназисты изучали греческий и латинский – в университет принимали только лиц, владевших этими языками. В технические, горные и строительные академии можно было поступить после реальных гимназий (девятилетний курс обучения, латинский язык). Кроме того, были классические прогимназии (греческий, латынь, программа первых пяти классов гимназии), реальные прогимназии, высшие реальные и обычные реальные училища (Oberrealschulen, Realschulen), женские школы (Hoehere Toechterschulen), ремесленные школы (Gewerbeschulen) – прототип будущих советских ПТУ. В основе всей этой гибкой и эффективной системы образования лежала классическая гимназия с древними языками.
Но государственным деятелям уже не хватало мудрости, почерпнутой со страниц Плутарха и Тацита, – ведь появились железные дороги, электрические компании, телеграф и телефон. И перед Первой мировой Феликс Клейн возглавляет международную комиссию по реорганизации преподавания математики.
Революция Феликса Клейна
Первую попытку реформировать немецкое гимназическое образование предпринял последний универсальный гений старой Европы Александр фон Гумбольдт. Автор монументального «Космоса» хоть и получил образование преимущественно в филологическом и юридическом духе, но для гимназий составил программу, обогащенную математикой и естественнонаучными предметами. И реальные гимназии в тех или иных германских землях (сохранявшие автономию до Первой мировой) старались следовать ей с большим или меньшим успехом. Но по мнению германских чиновников от образования, эти учебные заведения все равно были «второсортными». И Феликс Клейн взялся изменить положение с преподаванием математики – введя в архаичный курс этой дисциплины новые достижения науки.
Для этого Клейн сосредоточился не на отдельных задачах, а на чем-то, что по праву можно было бы назвать духом математики. Этот дух, наряду со старым Словом, должен был войти в души учащихся, подготовив их к удивительности странного мира. Изложению этого духа были посвящены лекции, прочтенные Клейном в 1907/08 учебном году в Геттингене будущим учителям математики средних школ и позже изданные в виде книги 'Elementarmathematik vom Hoeheren Standpunkt' ('Элементарная математика с точки зрения высшей' в русском переводе). Это была революция, куда сильнее изменившая мир, нежели толпы на площадях и побоища в вестибюлях дворцов.
В начале книги Клейн говорил, как следует знакомить детей с понятием числа. Для этого он привлек философские труды Канта, строки «Фауста», работы крупнейших математиков Гамильтона, Пеано, отца теории множеств Кантора. Серьезный подход к ДУХУ математики требовал безукоризненного определения самых элементарных понятий.
Затем Клейн переходил к функциям. Именно это понятие ученый закладывал в основу курса математики, будучи убежден, что оно должно быть усвоено как можно раньше, что через него следует осуществлять преподавание и алгебры, и геометрии.
Изучение функций, их возрастания и убывания, должно приводить учащихся к понятию производной. И тоже чем раньше, тем лучше. По мнению Клейна, начала математического анализа следует включить в программу средней школы. Вспомним – Клейн был учеником последнего равно крупного физика и математика, сам много работал в области приложений математики и хорошо понимал, как важны элементы анализа при изучении естественных дисциплин.
Но наряду с широким применением строгих математических понятий Клейн уделял огромное значение примерам, взятым из повседневной жизни, – для иллюстрации понятий математики и для демонстрации мощи математических приемов в решении практических задач. Дух математики должен был приходить не только из чистого разума, но и из вполне конкретных проблем, и воспарять не только к вершинам платоновских идей, но и к тем затянутым облачками небесам, в которые карабкались цепеллины и первые аэропланы. Блистательным примером тому была маленькая главка
