Объективное знание. Эволюционный подход

том, что для осуществления конструирования требуются знаки и символы. Моя точка зрения состоит в том, что дискурсивное мышление (то есть последовательность аргументов, выраженных лингвистически) имеет огромное влияние на наше осознание времени и на развитие нашей интуиции последовательного порядка. Это никоим образом не расходится с конструктивизмом Брауэра, но действительно расходится с его субъективизмом и ментализмом, ибо объекты математики могут теперь рассматриваться как граждане объективного третьего мира: хотя содержание наших мыслей первоначально построено нами (третий мир возникает как продукт нашей деятельности), оно несет с собой свои собственные непреднамеренные следствия. Натуральный ряд чисел, которые мы конструируем, создает простые числа, которые мы открываем, а они в свою очередь создают проблемы, о которых мы и не мечтали. Вот именно так становится возможным математическое открытие. Подчеркнем, что самыми важными математическими объектами, которые мы открываем, самыми плодовитыми гражданами третьего мира являются именно проблемы и новые виды критических рассуждений. Таким образом, возникает некоторый новый вид математического существования — проблемы, новый вид интуиции — интуиция, которая позволяет нам видеть проблемы и понимать проблемы до их решения (ср. брауэровскую центральную проблему континуума).

Гейтинг прекрасно описал способ, которым язык и дискурсивное мышление взаимодействуют с более непосредственными интуитивными конструкциями (взаимодействие, разрушающее, между прочим, тот идеал абсолютной очевидной достоверности, которого, как предполагалось, достигает интуитивное конструирование). Возможно, будет уместно процитировать здесь начало того отрывка из его работы, который не только стимулировал меня на дальнейшие исследования, но и поддержал мои размышления: «Понятие интуитивной ясности в математике само не является интуитивно ясным. Можно даже построить нисходящую шкалу степеней очевидности (evidence). Высшую степень очевидности имеют такие утверждения, как 2 + 2 = 4. Однако 1002 + 2 = 1004 имеет более низкую степень очевидности; мы доказываем это утверждение не фактическим подсчетом, а с помощью рассуждения, показывающего, что вообще (n + 2) + 2 = n + 4... [Высказывания, подобные этому], уже имеют характер импликации: „Если построено натуральное число n, то можно осуществить конструкцию, выражаемую равенством (п + 2) + 2 = n + 4'» [136]. «Степени очевидности» Гейтинга имеют в данный момент для нас второстепенный интерес, а более важным является прежде всего исключительно простой и ясный анализ Гейтингом необходимого взаимодействия между интуитивным конструированием и его языковым выражением, которое неизбежно приводит нас к дискурсивному и тем самым к логическому рассуждению. Гейтинг подчеркивает это, когда продолжает: «Этот уровень формализуется в исчислении со свободными переменными».

Наконец, следует сказать об отношении Брауэра к математическому платонизму. Автономия третьего мира несомненна, и поскольку это так, то брауэровское равенство 'esse = construi' должно быть отброшено, по крайней мере в отношении проблем. Это, возможно, заставит нас заново пересмотреть проблему логики интуиционизма: не отбрасывая интуиционистских стандартов доказательства, следует подчеркнуть, что для критического рационального обсуждения важно четко различать между тезисом и свидетельствами (evidence) в его пользу. Однако это различие разрушается интуиционистской логикой, которая возникает из слияния воедино свидетельства (или доказательства) и утверждения, которое должно быть доказано[137] .

(3') Методологические проблемы. Первоначальным мотивом интуиционистской математики Брауэра была потребность в надежности, уверенности — поиск более верных, надежных методов доказательства, фактически — непогрешимых методов. В этом случае, если вы хотите более надежных доказательств, вы должны более строго подходить к использованию демонстративной аргументации: вы должны применять более слабые средства, более слабые предположения. Брауэр ограничивается использованием логических средств, которые были слабее, чем средства классической логики [138]. Доказать теорему более слабыми средствами является (и всегда являлось) в значительной степени интересной задачей и одним из великих источников математических проблем. Этим и обусловлена интересность интуиционистской методологии.

Однако я полагаю, что сказанное справедливо лишь для доказательств. Для критики и опровержения мы не нуждаемся в слабой логике. В то время как органон доказательства может быть достаточно слабым, органон критики должен быть очень сильным. В критике мы не должны

7. Субъективизм в логике, теории вероятностей и физике

Субъективизм в логике, теории вероятностей и физике

Учитывая то, что говорилось в разделе 5, особенно об эмпиризме, становится вполне понятным, почему в современном мышлении все еще широко распространены пренебрежение третьим миром и — как следствие — субъективистская эпистемология. В различных конкретных науках часто можно обнаружить субъективистские тенденции — даже там, где не существует связи с брауэровской математикой, Я рассмотрю некоторые такие тенденции в логике, теории вероятностей и физической науке.

7.1. Эпистемическая логика

Эпистемическая логика оперирует такими формулами, как 'а знает р' или 'а знает, что р', 'a'верит (believes) в 'р' или 'а верит, что р'. Обычно эти формулы символически записываются так:

«Кар» или «Вар»,

где К и B соответственно означают отношения знания (knowing) и веры (believing), а — познающий или верящий субъект, р — суждение, которое знают или в которое верят, а также соответствующее ему положение дел.

Мой первый тезис, выдвинутый в разделе 1, состоит в том, что все это не имеет ничего общего с научным знанием, потому что ученый (я буду обозначать его S) и не знает, и не верит. Что же он в действительности делает? Я приведу самый краткий список вариантов ответа на этот вопрос:

'S пытается понять p',

'S пытается думать об альтернативах p',

'S пытается думать о критических оценках p',

'S предлагает экспериментальную проверку p',

'S пытается аксиоматизировать p',

'S пытается вывести p из q',

'S пытается показать, что p невыводимо из q',

'S предлагает новую проблему x, возникающую из p',

'S предлагает новое решение проблемы я, возникающей из p',

'S критикует свое последнее решение проблемы x'.

Этот список можно было бы значительно расширить. По своему характеру все входящие в него варианты довольно далеки от 'S знает p' или 'S верит в p' или даже 'S ошибочно верит в р', 'S сомневается в p'.Здесь очень важно подчеркнуть, что мы можем сомневаться без критики и критиковать без сомнения. (То, что мы можем это делать, было высказано Пуанкаре в его