В науках, основанных на доказательстве, логика используется главным образом для доказательства — для передачи истинности, в то время как в эмпирических науках она используется почти исключительно для критики — для обратной передачи ложности. Конечно, в них участвует и прикладная математика, в которой мы неявно используем доказательства чистой математики, но роль математики в эмпирических науках несколько сомнительна в разных отношениях. (Есть замечательная статья Шварца на эту тему[289])
Итак, в эмпирических науках логика используется, главным образом, для критики, то есть для опровержения. (Вспомните мою схему
Теперь я хочу высказать следующее утверждение. Если мы хотим использовать логику в контексте критики, то мы должны использовать очень сильную логику, так сказать, самую сильную логику, какая имеется в нашем распоряжении, потому что нам нужна суровая критика. Чтобы критика была суровой, нужно использовать весь логический аппарат полностью: нужно стрелять изо всех пушек. Важен каждый выстрел. Ничего, если мы будем слишком критичны: в этом случае нам ответят контркритикой.
Таким образом (в эмпирических науках) следует использовать полную, или классическую, или двузначную логику. Если мы не станем использовать ее, а прибегнем к более слабой логике, — скажем, к интуиционистской логике или к какой-нибудь трехзначной логике (как предлагал Рейхенбах в связи с квантовой теорией), — тогда, утверждаю я, мы будем недостаточно критичны, а это признак того, что прогнило что-то в Датском королевстве (каковым в данном случае является квантовая теория в ее копенгагенской интерпретации, как я заметил ранее).
Теперь для сравнения рассмотрим доказательства. Каждому математику известно, что значительный интерес представляет доказательство теоремы при помощи минимального логического аппарата. Доказательство, использующее более сильные, чем необходимо, логические средства, математически неудовлетворительно, и всегда бывает интересно найти самые слабые исходные предположения и минимальные средства, использующиеся в доказательстве. Другими словами, мы хотим, чтобы доказательство было не только достаточным, то есть верным, но и, если возможно, необходимым, в том смысле, что в нем использовались бы минимальные исходные предположения. Я признаю, что это несколько изощренная точка зрения. В обычной математике — математике без затей — мы счастливы и довольны, если хоть что-то удается доказать, но в более изощренной математике нам хочется узнать, что же действительно необходимо для доказательства той или иной теоремы.
Так что, если удается доказывать математические теоремы более слабыми методами, чем полный арсенал классической логики, то это в высшей степени интересно с математической точки зрения. Таким образом, в теории доказательств мы заинтересованы в том, чтобы по возможности ослабить нашу классическую логику, и можем, например, ввести интуиционистскую логику или какую-то другую более слабую логику, такую как позитивная логика, и выяснить, как далеко мы можем продвинуться, не используя весь логический арсенал.
Мне кажется, кстати, что термин «интуиционистская логика» неудачен. Это просто название очень интересной и несколько ослабленной формы классической логики, которую придумал Брауэр и формализовал Гейтинг. Я, безусловно, не хочу ничего сказать в пользу философской теории, называемой интуиционизмом, хотя готов кое-что сказать в пользу логики Брауэра—Гейтинга. Надеюсь, никто не заподозрит меня в какой бы то ни было защите авторитета интуиции в философии, в логике или где-нибудь еще. Отвлекаясь на минуту от брауэровской логики, можно сказать, что интуиционизм — это доктрина о том, что интуиция не только важна, но и, вообще говоря, надежна. Я считаю, напротив, что интуиция очень важна, но, как правило, не выдерживает критики. Так что я не интуиционист. Как бы то ни было, брауэровская или так называемая «интуиционистская» логика очень важна с точки зрения теперешнего обсуждения, потому что она представляет собой просто часть классической логики, не совпадающую с нею и потому более слабую: каждый вывод, справедливый с точки зрения интуиционистской логики, будет также справедливым и с точки зрения классической логики, в то время как обратное неверно, поскольку имеются следствия, выводимые в классической логике, но невыводимые в интуиционистской логике. Таким образом, если я могу доказать теорему (пока что доказанную только классическими средствами) в интуиционистской логике, значит, я сделал настоящее математическое открытие. потому что математические открытия состоят не только в нахождении новых доказательств новых теорем, но и в нахождении новых доказательств старых теорем, а новое доказательство будет особенно интересно, если оно будет использовать более слабые средства, чем старое доказательство. Доказательство, использующее более сильные средства, всегда под рукой, a fortiori, а вот найти более слабое доказательство -— это настоящее математическое достижение.
Таким образом, интуиционистская логика представляет собой очень интересный подход к математике, потому что она пытается доказать как можно больше математических теорем урезанными логическими средствами.
У интуиционистской логики есть еще одно преимущество: можно показать, что так называемый «закон исключенного третьего» в ней недоказуем (хотя это правильно построенная формула этой системы). Можно также показать, что, если в какой-либо системе некоторая правильно построенная формула недоказуема, то эта система непротиворечива. Вообще говоря, чем слабее используемые нами логические средства, тем меньше нам грозит противоречивость, то есть возможность вывести противоречие. Так что интуиционистскую логику можно также рассматривать как попытку обеспечить непротиворечивость наших рассуждений и уменьшить риск столкновения со скрытыми противоречиями, парадоксами, антиномиями. Насколько надежна такая ослабленная логика как таковая, в этот вопрос я сейчас не хочу углубляться; но очевидно, она хотя бы немного надежнее, чем полная классическая логика. Я не предполагаю, что она всегда надежна, но речь не об этом. Я веду речь вот о чем. Если вы хотите доказать или установить что- либо, вам следует использовать слабые средства. Но для того, чтобы опровергнуть что-либо, — то есть для критики -— можно использовать сильные средства. Конечно, кто-то может сказать: «Послушайте, я могу опровергнуть вас и слабыми средствами; мне даже не понадобится вся интуиционистская логика целиком». Но это не так уж важно. Главное, что для рационалиста всякая критика хороша — хотя он может и ответить критикой на критику.
Так вот, этот рационалистический взгляд представляет собой реалистический взгляд на логику. Во- первых потому, что он рассматривает логику отчасти в связи с методологией естественных наук, которая, как я пытался показать, есть реалистическое предприятие. Во-вторых — и это очень важный момент, — потому, что он рассматривает логический вывод как передачу истинности или обратную передачу ложности. Иначе говоря, он связан с понятием истины.
Я склонен утверждать, что не последняя из заслуг Альфреда Тарского состоит в том, что он ввел в логику две идеи, благодаря которым она стала в высшей степени реалистическим предприятием. Первая — это идея Тарского (отчасти предвосхищенная Больцано), что логическое следование есть передача истинности. Второй я бы считал реабилитацию теории истины как соответствия, реабилитацию идеи, что истинность есть просто соответствие фактам.
Мне кажется, что в этом пункте я несколько расхожусь с Куайном, поскольку я думаю, что эту идею Тарского следует интерпретировать как подрывающую релятивизм и что Тарский прав, объявляя свою теорию истины «абсолютной» теорией истины. Чтобы пояснить этот момент, я перескажу здесь одну очень старую историю, но с некоторой поправкой. Старая история — это история о трех основных теориях истины. Поправка будет состоять в том, что из истории будет изъято слово «истина», а вместе с ним и впечатление, что речь в ней идет только о словах или о словесных определениях. Однако для этого изъятия требуется некоторое предварительное обсуждение.
Из трех основных теорий истины самой старшей является теория соответствия, согласно которой истинность есть соответствие фактам или, точнее говоря, высказывание истинно, если (и только если) оно соответствует фактам, или адекватно описывает факты. Это теория, которую, как мне представляется, реабилитировал Тарский. Вторая теория — так называемая теория (внутренней) согласованности, или когерентности: высказывание считается истинным, если (и только если) оно согласуется с остальной частью нашего знания. Третья теория состоит в том, что истинность есть прагматическая пригодность (utility) или прагматическая полезность.
Теория согласованности существует в различных вариантах, из которых я упомяну здесь только два. Согласно первому, истинность есть согласованность с нашими мнениями (beliefs). Точнее, данное
