Рассмотрим условие, что р0 должно быть конечным. Это значит, что предлагаемое обобщение «все А суть В», до того как мы наблюдали какие-либо случаи — благоприятные или неблагоприятные, — имеет кое-что в свою пользу, так что во всяком случае оно является предположением, заслуживающим исследования. Вероятность р0, согласно трактовке Кейнса, относится к общим данным h, которые, по- видимому, могут включать в себя все что угодно, кроме тех случаев А, которые суть или не суть В. Очень трудно удержаться от мысли о данных, как состоящих, по крайней мере отчасти, из аналогичных хорошо установленных обобщений, из которых мы выводим свидетельство в пользу обобщения 'все А суть В». Например, вы хотите доказать, что всякая медь является проводником электричества. До экспериментирования с медью вы испытываете многие другие элементы и находите, что каждый элемент по-своему ведет себя в отношении проведения электричества. Вы из этого индуктивно заключаете, что или всякая медь проводит электричество, или никакая медь не является его проводником; ваше обобщение, следовательно, имеет доступную оценке вероятность еще до того, как наблюдения начались. Но поскольку это доказательство пользуется индукцией, оно бесполезно для нашей цели. До того как мы сделаем индукцию, что все элементы по-своему ведут себя в отношении проведения электричества, мы должны спросить, какова была вероятность этой индукции до того, как мы имели какие-либо случаи убедиться в ее истинности или ложности. Мы можем в свою очередь подвести эту индукцию под более широкую: мы можем сказать: «Было испытано большое число свойств, и в отношении каждого из этих свойств было найдено, что каждый элемент ведет себя своеобразно; следовательно, вероятно, что проведение электричества также является таким свойством». Но этому процессу подведения индукций под более общие в практике должен быть предел, и где бы мы ни остановились, при любом данном состоянии нашего знания, данные, суммированные в h Кейнса, не должны быть такими, чтобы иметь отношение к делу; только в том случае сделанная индукция признается.
Мы, следовательно, должны искать такие отличающиеся от индукции принципы, чтобы при наличии определенных данных, не имеющих формы «все А суть В', обобщение «все А суть В' имело бы конечную вероятность. При наличии таких принципов и обобщения, к которому они применяются, индукция может сделать обобщение вероятным в возрастающей степени с вероятностью, приближающейся к достоверности как своему пределу, когда число благоприятных случаев неопределенно возрастает. В таком доказательстве принципы, о которых идет речь, являются посылками, к которым индукция не принадлежит, так как в той форме, в которой она используется, она представляет собой аналитическое следствие конечно-частотной теории вероятности.
Наша задача, следовательно, заключается в нахождении принципов, которые будут делать соответствующие обобщения вероятными еще до свидетельства в их пользу.
Остается рассмотреть другое условие Кейнса, именно то, что qn должно стремиться к нулю по мере возрастания n. Здесь qn является вероятностью того, что все первые n случаев будут благоприятными, хотя обобщение ложно. Допустим, повторяя использованный ранее пример, что вы чиновник, занятый установлением фамилий жителей определенной деревни в Уэльсе. Первые n жителей, которых вы спрашиваете, все носят фамилию Уильямс. Тогда an есть вероятность того, что эта фамилия встретится, если все жители носят фамилию Уильямс. В этом случае, когда n становится равным числу жителей деревни, больше никого не остается, кто не носил бы фамилии Уильямс, и qn, следовательно, равно нулю. Но такое полное перечисление обычно невозможно. Как правило, А является классом событий, которые продолжают совершаться и не могут наблюдаться, пока это происходит, так что А не может быть полностью перечислено до конца времен. Мы также не можем сделать никакого предположения о числе членов А и даже о том, является ли он классом с конечным числом членов. Именно о таких случаях мы и должны думать в связи с условием Кейнса, что qn должно стремиться к нулю по мере возрастания n.
Кейнс переводит это условие в другую форму, делая qn произведением n различных вероятностей. Допустим, что Q1 есть вероятность того, что первое А будет В, если обобщение ложно; О2 — вероятность, что второе А будет В, если обобщение ложно и если первое А есть В; Q3 — вероятность того, что третье А будет В, если обобщение ложно и если первые два А суть В, и так далее Тогда qn есть произведение чисел Q1, 02 Q3, …, Qn, где Qn вероятность того, что n-ное А будет В при условии, что обобщение ложно и первые (n -1)A суть все В. Если имеется какое-либо число, меньше, чем 1, такое, что все О составляют число меньшее, чем это число, тогда произведение n-Q будет меньше, чем n-ная степень этого числа и, следовательно, будет стремиться к нулю по мере возрастания n. Таким образом, наше условие удовлетворено, если имеется такая близкая к достоверности вероятность, скажем p того, что при ложности обобщения и при том, что (n -1)A оказались В, шанс, что n-ное А окажется В, будет всегда меньше, чем Р, если только n достаточно велико.
Нелегко видеть, как это условие может оказаться несостоятельным в отношении эмпирического материала. Если оно оказывается таковым, тогда, если J есть любая как угодно малая дробь, а n есть любое как угодно большое число и если первые n А все суть В, но не все А суть В, то имеется такое число m, что вероятность того, что (m+n)-e А не есть В, будет меньше, чем e. Мы можем выразить это иначе. Каким бы ни было n, путь будет дано, что первые n А, но не все А суть В. Если мы теперь расставим последние A не в порядке их возникновения, а в порядке вероятности того, что они суть В, тогда пределом этих вероятностей является достоверность. Вот что должно произойти, если условие оказывается несостоятельным.
Ясно, что это условие менее интересно и гораздо легче осуществимо, чем предшествующее условие, гласящее, что наше обобщение должно иметь конечную вероятность еще до наблюдения благоприятных случаев. Если мы сможем найти принцип, обеспечивающий такую конечную вероятность для данного обобщения, тогда мы будем иметь право использовать индукцию для того, чтобы делать обобщение вероятным. Но при отсутствии такого принципа индукции не могут считаться делающими обобщения вероятными.
В вышеприведенном обсуждении я следовал за Кейнсом в рассмотрении только свидетельства в пользу «все А суть В'. Но на практике, особенно на более ранних стадиях исследования, часто бывает полезно знать, что «большинство А суть B». Допустим, например, что существуют две болезни, одна обычная, а другая редкая, имеющие очень сходные симптомы в своих ранних стадиях развития. Врач, наблюдая эти симптомы, поступит правильно, если решит, что ему, вероятно, предстоит иметь дело со случаем более обычной болезни. Очень часто случается, что законы, в отношении которых мы верим, что они не имеют исключений, открываются путем первичных обобщений, которые применяются к большинству случаев, но не ко всем. А очевидно, что для установления вероятности предложения «большинство А есть В' требуется более слабое свидетельство, чем для установления вероятности предложения «все А суть В'.
С практической точки зрения это различие ничтожно. Если достоверно, что m/n случаев А суть В, то m/n есть вероятность того, что следующее А будет В. Если вероятно, но не достоверно, что все А суть В то опять-таки вероятно, что следующее А будет В. Поскольку дело касается ожиданий следующего А, постольку будет, следовательно, верным то же самое, а именно, что большинство А суть В или же правильно будет считать вероятным, что все А суть В. Этого часто бывает достаточно для разумного ожидания и, следовательно, для практического руководства.
ГЛАВА 3
ПОСТУЛАТ ЕСТЕСТВЕННЫХ ВИДОВ ИЛИ ОГРАНИЧЕННОГО МНОГООБРАЗИЯ
Чтобы найти постулат или постулаты, необходимые для того, чтобы индуктивные вероятности стремились в достоверности как пределу, есть два требования. С одной стороны, постулат или постулаты должны быть достаточными с чисто логической точки зрения, чтобы выполнять ту работу, которая от них требуется. С другой стороны — а это более трудно выполнимое требование, — они должны быть такими, что некоторые выводы, зависящие от них в отношении своей правильности, были бы для обыденного здравого смысла более или менее бесспорными. Например, вы находите две словесно идентичные копии одной и той же книги, и вы без колебания предполагаете, что они имеют один и тот же общий для них источник. В таком случае, хотя всякий согласится с вашим выводом, принцип, оправдывающий этот вывод, неясен и может быть раскрыт только с помощью тщательного анализа. Я не требую, чтобы полученный нами с помощью этого метода общий постулат сам обладал бы какой-либо степенью самоочевидности, но я требую, чтобы
