Maple 9.5/10 в математике, физике и образовании

> x2:=det(A2)/det(A);

> x3:=det(A3)/det(a);

А теперь рассмотрим пример решения матричного уравнения в символьном виде:

> A:=matrix(2,2,[a,b,с,d]);

> В:=vector(2, [с,d]);

В := [с, d]

> X:=linsolve(А,В);

Следующий пример показывает решение более сложной системы линейных уравнений с комплексными коэффициентами:

> А:=matrix(2,2,[[10+200*1,-200*1],[-200*1,170*1]]);

> B:=vector(2, [5,0]);

В := [5, 0]

> X:=multiply(inverse(А),В);

> Digits:=5: convert(eval(X),float);

[.037156 + .13114I, .043713 +.15428I]

На этот раз решение получено использованием функций умножения матриц и вычисления обратной матрицы в виде X=А^-1∙В, то есть в матричном виде. В конце примера показано преобразование результатов с целью их получения в обычной форме комплексных чисел с частями, представленными в форме чисел с плавающей точкой.

6.2.6. Визуализация матриц

Как видно из описанного, многие вычисления имеют результаты, представляемые в форме матриц. Иногда такие результаты можно наглядно представить графически, например, в виде гистограммы. Она представляет собой множество столбцов квадратного сечения, расположенных на плоскости, образованной осями строк (row) и столбцов (column) матрицы. При этом высота столбцов определяется содержимым ячеек матрицы.

Такое построение обеспечивает графическая функция matnxplot из пакета plots. На рис. 5.1 показано совместное применение этой функции с двумя функциями пакета linafg, формирующими две специальные матрицы А и В.

Рис. 6.1. Графическое представление матрицы

На рис. 6.1 показана графическая визуализация матрицы, полученной как разность матриц A и В. Для усиления эффекта восприятия применяется функциональная закраска разными цветами. Для задания цвета введена процедура F.

6.3. Работа с пакетом LinearAlgebra и алгоритмами NAG

6.3.1. Назначение и загрузка пакета LinearAlgebra

В новых реализациях систем Maple была сделана ставка на использование давно апробированных быстрых алгоритмов линейной алгебры, предложенных создателями Number Algorithm Group (NAG). Эти алгоритмы издавна применяются на больших ЭВМ и суперкомпьютерах, обеспечивая ускорение численных матричных операций от нескольких раз до нескольких десятков раз. Их применение обеспечивает эффективное использование систем символьной математики в решении задач, сводящихся к задачам линейной алгебры. В числе таких задач многочисленные задачи теоретической электротехники, механики многих объектов, моделирования электронных устройств и т.д.

В Maple 9.5/10 использование алгоритмов NAG реализуется пакетом LinearAlgebra. Для его загрузки используются следующие команды (файл NAG):

> restart; with(LinearAlgebra):
> infolevel[LinearAlgebra]:=1;

infolevel_{LinearAlgebra}:= 1

Многие функции этого пакета (их большой список опущен) повторяет по назначению функции более старого пакета linalg, описанного выше. Поэтому мы не будем останавливаться на их повторном описании. Главное то, что эти функции задействуют возможности быстрых алгоритмов NAG и, в отличие от функций пакета linalg, ориентированы на численные расчеты в том формате обработки вещественных чисел, который характерен для применяемой компьютерной платформы. Знающий матричные методы читатель легко поймет назначение функций пакета LinearAlgebra по их составным названиям. Например, DeleteColumn означает удаление столбца матрицы, ToeplitzMatrix означает создание матрицы Теплица, ZeroMatrix — создание матрицы с нулевыми элементами и т.д. Все имена функций этого пакета начинаются с заглавной буквы.

6.3.2. Примеры матричных операций с применением пакета LinearAlgebra

Применение алгоритмов NAG особенно эффективно в том случае, когда используется встроенная в современные микропроцессоры арифметика чисел с плавающей запятой. С помощью специального флага такую арифметику можно отключать или включать:

> UseHardwareFloats := false; # use software floats

Use Hardware Floats := false

> UseHardwareFloats := true; # default behaviour

UseHardwareFloats := true

Матрицы в новом пакете линейной алгебры могут задаваться в угловых скобках, как показано ниже:

> М1:=<<1|2>,<4|5>>; М2:=<<1|2.>, <4|5>>;

После этого можно выполнять с ними типовые матричные операции. Например, можно инвертировать (обращать) матрицы:

> М1^(-1); М2^(-1);

MatrixInverse: 'calling external function'
MatrixInverse: 'NAG' hw_f07adf
MatrixInverse: 'NAG' hw_f07ajf