обоснованы, но они ничего не подсказывают. Не можешь ничего возразить, чувствуешь, что попался в логическую мышеловку, но не видишь, какая основная линия рассуждений за этим скрывается.
Таким образом, пока еще традиция не прерывалась, пока каждое поколение могло передавать свою методику следующему, все шло хорошо и наука процветала. Но как только по ряду причин внешнего характера устная передача прерывалась, и оставались только одни книги, понимать труды великих предшественников становилось крайне трудно, а выйти за их пределы и двинуться вперед — почти невозможно.
Почему же греки, несмотря на их высокую математическую культуру и обилие одаренных математиков, так и не смогли создать алгебраического языка? Обычный ответ на этот вопрос таков, что этому помешала именно их высокая математическая культура, конкретнее — высокий уровень требований к логической строгости теории, ибо иррациональные числа, которыми, как правило, выражаются значения геометрических величин, греки не могли рассматривать как числа; если отрезки были несоизмеримы, то считалось, что числового отношения для них просто не существует. Это объяснение, хотя оно и верно в общих чертах, следует вместе с тем признать неточным и поверхностным. Стремление к логической строгости не может быть само по себе отрицательным фактором в развитии математики. Если оно выступает в качестве отрицательного фактора, то, очевидно, лишь в комбинации с какими-то другими факторами и вряд ли следует решающую роль в этой комбинации приписывать именно стремлению к строгости. Совершенная логическая строгость в окончательных формулировках и доказательствах не мешала Архимеду пользоваться нестрогими наводящими соображениями. Почему же она помешала созданию алгебраического языка? Здесь дело, конечно, не просто в высоком стандарте логической строгости, а во всем строе мышления, в философии математики. Декарт, создав современный алгебраический язык, вышел за рамки греческого канона, но это вовсе не значит, что он погрешил против законов логики или пренебрегал доказательствами. И иррациональные числа он мыслил как «точные», а вовсе не как замененные на свои приближенные значения. Некоторые неполадки с логикой начались уже после Декарта, в эпоху бурного развития анализа бесконечно малых. Тогда математики были так увлечены потоком открытий, что им просто было не до логических тонкостей. В XIX в. появилось время подумать, и под анализ была подведена более прочная логическая основа.
Причины ограниченности греческой математики мы уясним себе после того, как разберем сущность переворота в математике, произведенного Декартом.
Успехи геометрии оттеснили на задний план искусство решения уравнений. Однако оно продолжало развиваться и породило арифметическую алгебру. Возникновение алгебры из арифметики — это типичный метасистемный переход. Когда ставится задача о решении уравнения — независимо от того, формулируется ли она на обычном разговорном языке или на специализированном, — это еще задача арифметическая. И когда указывается общий метод решения — на примерах, как это делается в начальной школе, или даже в виде формулы, мы все еще не выходим за пределы арифметики. Алгебра начинается тогда, когда сами уравнения становятся объектом деятельности, когда изучаются свойства уравнений и правила их преобразования. Наверно, каждый, кто помнит, как он познакомился с алгеброй в школе (если только это было на уровне понимания, а не зазубривания), помнит и то радостное чувство изумления, которое испытываешь, когда оказывается, что разнотипные арифметические задачи, приемы решения которых представлялись друг с другом совершенно не связанными, решаются путем однотипных преобразований уравнений по нескольким простым и понятным правилам. Все ранее известные методы вписываются в стройную систему, открываются новые методы, вводятся в рассмотрение новые уравнения и целые классы уравнений (закон разрастания предпоследнего уровня), появляются новые понятия, не имеющие решительно никакого смысла в рамках собственно арифметики: отрицательные, иррациональные и мнимые числа.
Принципиальной необходимости создания специализированного языка для развития алгебры нет. Однако на деле только созданием специализированного языка завершается метасистемный переход в головах людей. Специализированный язык дает возможность убедиться, что мы имеем дело с некоей новой реальностью — в данном случае с уравнениями, которые можно рассматривать как объект выкладок, подобно объектам предыдущего уровня — числам. Людям свойственно не замечать воздуха, которым они дышат, и языка, которым все время пользуются. Созданный же вновь специализированный язык выпадает из сферы естественного языка и представляется частью неязыковой действительности. Это способствует метасистемному переходу. И, конечно, огромную роль играют практические удобства использования специализированного языка: обозримость выражений, уменьшение затрат на переписывание и т. п.
Арабский ученый Мухаммед ибн Муса ал-Хорезми (780–850) написал несколько сочинений по математике, которые в XII в. были переведены на латынь и на протяжении четырех столетий служили в Европе важнейшими учебными пособиями. Одно из них — «Арифметика» — донесло до европейцев десятичную систему счисления и правила (алгоритмы — от имени ал-Хорезми) выполнения четырех действий арифметики над числами, записанными по этой системе. Другое сочинение называлось «Книга об ал-джебр и ал-мукабала». Оно имело целью обучить искусству решения уравнений, которое необходимо, по словам автора, «в случаях наследования, раздела имущества, торговли и во всех деловых взаимоотношениях, а также при измерении земель, проведении каналов, геометрических вычислений и в других случаях...» «Ал-джебр» и «ал-мукабала» – два приема, которые ал-Хорезми использует для решения уравнений. Эти приемы он придумал не сам, они описываются и используются уже в «Арифметике» позднегреческого математика Диофанта (III в.), прославившегося своими методами решения целочисленных (диофантовых) уравнений. В той же «Арифметике» Диофанта встречаются и зачатки буквенной символики. Поэтому если считать кого-то родоначальником арифметической алгебры, то, очевидно, это будет Диофант. Однако в Европе об алгебраических приемах узнали впервые от ал-Хорезми, а труды Диофанта стали известны гораздо позже. Никакой специальной алгебраической символики, даже в зачаточном состоянии, у ал-Хорезми нет. Уравнения фигурируют в виде записи на естественном языке. Но мы для краткости опишем эти приемы и приведем пример, пользуясь современной символикой.
Ал-джебр — это перенесение вычитаемых членов из одной части уравнения в другую; ал-мукабала — вычитание из обеих частей уравнения одинакового члена. Эти приемы ал-Хорезми рассматривает как различные, ибо понятие об отрицательном числе у него отсутствует.
Возьмем для примера уравнение
7
Применяя прием ал-джебр два раза — для вычитаемого 11 и для вычитаемого 3, получаем
7
Теперь применим два раза прием ал-мукабала — для члена 3 и для члена 5
2
Отсюда
Итак, хотя ал-Хорезми не использует специального алгебраического языка, его книга содержит первые наметки алгебраического подхода. Европейцы по достоинству оценили этот подход и дали ему дальнейшее развитие. Само слово «алгебра» происходит от названия первого из приемов ал-Хорезми.
В первой половине XVI в. благодаря усилиям итальянских математиков в алгебре происходят крупные сдвиги, сопровождаемые весьма драматическими событиями. Профессор Болонского университета Сципион Даль Ферро (1465–1526) находит общее решение уравнения третьей степени
