природы» Ф.Энгельс писал:
Естествоиспытатели воображают, что они освобождаются от философии, когда игнорируют или бранят ее. Но так как они без мышления не могут двинуться ни на шаг, для мышления же необходимы логические категории, а эти категории они некритически заимствуют либо из обыденного общего сознания так называемых образованных людей, над которыми господствуют остатки давно умерших философских систем, либо из крох, прослушанных в обязательном порядке университетских курсов по философии (которые представляют собой не только отрывочные взгляды, но и мешанину из воззрений людей, принадлежащих к самым различным и по большей части к самым скверным школам), либо из некритического и бессистемного чтения всякого рода философских произведений — то в итоге они все-таки оказываются в подчинении у философии, но, к сожалению, по большей части самой скверной, и те, кто больше всех ругает философию, являются рабами как раз наихудших вульгаризованных остатков наихудших философских систем1.
Это звучит удивительно современно!
Превращение языка в независимую от создавшего его человеческого мозга реальность, происходящее благодаря формализации, имеет далеко идущие последствия. Только что созданная языковая машина (теория) становится, как часть окружающего человека мира, объектом изучения и описания с помощью нового языка. Происходит, таким образом, метасистемный переход. Новый язык называют по отношению к описываемому языку
Таким образом, формализация языка порождает эффект лестницы (см. главу 5). Подобно тому, как овладение общим принципом производства орудий для воздействия на предметы приводит к многократному повторению метасистемного перехода и созданию иерархической системы промышленного производства, так и овладение общим принципом описания (моделирования) действительности с помощью формализованного языка приводит к созданию иерархической системы формализованных языков, на которой основаны современные точные науки. Обе иерархии имеют значительную высоту. Невозможно построить реактивный самолет голыми руками. То же относится и к инструментам, необходимым для постройки самолета. Надо начинать с простейших орудий и пройти всю иерархию сложности инструментов, чтобы добраться до самолета. Точно так же, чтобы обучить дикаря квантовой механике, придется начать с арифметики.
Суть того, что произошло в математике в XVII в., — овладение общим принципом использования формализованного языка, давшее начало движению вверх по лестнице, которое привело к грандиозным достижениям и продолжается до настоящего времени. Правда, тогда этот принцип не был так четко сформулирован, как это мы делаем теперь, и сам термин «формализованный язык» появился только в XX в. Но фактически он использовался. Реформа Декарта, как мы видели, была первым шагом на этом пути. Сочинения Декарта и, в частности, цитаты, приведенные выше, показывают, что этот шаг отнюдь не был случайным, а вытекал из его метода познания законов природы, который, если сформулировать его в современных терминах, и есть метод создания моделей с помощью формализованного языка. Декарт сознает общность своего метода и его «математичность». В «Правилах для руководства ума» он высказывает уверенность, что должна существовать «некая общая наука, объясняющая все, относящееся к порядку и мере, не входя в исследование никаких частных предметов». Эту науку, пишет он, следует назвать «всеобщей математикой».
Другой великий математик-философ XVII в. г. Лейбниц (1646–1716) уже полностью понимает значение формализации языка и мышления. В течение всей жизни Лейбниц разрабатывал символическое исчисление, названное им «универсальной характеристикой», целью которого было выражать все ясные человеческие мысли и сводить логические умозаключения к чисто механическим операциям. В одной из своих ранних работ он заявляет:
Истинный метод должен дать нам нить Ариадны, т. е. некое осязаемое и грубое средство, которое направило бы разум, подобно начертанным линиям в геометрии и формам операций, предписываемым обучающимся арифметики. Без этого наш разум не смог бы проделать длинный путь, не сбившись с дороги.
Это, по существу, указание на роль формализованного языка как материального фактора понятий- конструктов, т. е. на его главную роль. Н.Бурбаки в историческом очерке об основании математики пишет:
Многочисленные места из сочинений Лейбница, в которых он упоминает о своем грандиозном проекте и о прогрессе, который последует за его реализацией, показывают, с какой ясностью он понимает формализованный язык как чистую комбинацию знаков, в которых имеет значение лишь их сцепление, так что машина сможет получать все теоремы и все недоразумения смогут быть разрешены простым вычислением. Хотя подобные чаяния и могут показаться чрезмерными, все же надо признать, что, находясь именно под их постоянным воздействием, Лейбниц создал значительную часть своих математических трудов и прежде всего свои работы по символике исчисления бесконечно малых. Он сам это прекрасно сознавал и явно связывал свои идеи о введении индексов и детерминантов и свой набросок «Геометрическое исчисление» со своей «характеристикой». Но он считал, что его наиболее значительным трудом будет символическая логика... и хотя ему не удалось создать подобного исчисления, он по крайней мере трижды приступал к реализации своего намерения2.
Идеи Лейбница об «универсальной характеристике» в свое время не получили развития. Дело формализации логики сдвинулось с мертвой точки только во второй половине XIX в. Но идеи Лейбница — свидетельство того факта, что принцип описания действительности с помощью формализованного языка есть врожденная особенность европейской математики, которая всегда была источником ее развития, хотя авторами осознавалась в различной степени.
В наши цели не входит изложение истории современной математики, как и подробное описание понятий, лежащих в ее основе: для этого понадобилась бы отдельная книга. Нам придется удовлетвориться кратким очерком, затрагивающим лишь тот аспект математики, который в первую очередь интересует нас в данной книге, а именно системный аспект.
Лейтмотивом развития математики в течение последних трех столетий было постепенно углубляющееся осознание математики как формализованного языка и вытекающее отсюда возрастание ее «многоэтажности», происходящее путем метасистемных переходов различного масштаба.
В оставшейся части настоящей главы мы рассмотрим важнейшие проявления этого процесса, которые можно назвать вариациями на основную тему, исполняемыми на различных инструментах и в различном сопровождении. Одновременно с ростом здания математики ввысь происходило расширение всех его этажей, в том числе самого нижнего, т. е. сферы приложений.
