Живой учебник геометри

Применения

67. Как убедиться, что шестиугольными плитками можно покрыть пол сплошь, без промежутков?

Р е ш е н и е. Сумма углов правильного шестиугольника равна 180° [6 – 2] = 720°, и следовательно, каждый из внутрених углов = 720°/6 =120°.Так как сумма углов, расположенных вокруг общей вершины, равна 360°, то разделив 360: 120, узнаем, что, углы трех соседних плиток, должны плотно примкнуть друг к другу.

68. Можно ли сплошь покрыть пол восьмиугольными плитками?

Решение. Внутренний угол правильного восьмиугольника = 180°[8–2]/ 8 = 125°. Так как этот угол не содержится в 360° целое число раз то покрыть такими плитками пол с п л о ш ь нельзя.

X. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ ОБ ОКРУЖНОСТЯХ

§ 61. Разыскание центра. Хорды

На практике нередко возникает надобность разыскать центр данной окружности или дуги. Покажем, как это делается.

Пусть требуется разыскать центр дуги, изображенной на чертеже 167. Возьмем на ней две произвольные точки, – напр. А и В (черт. 168). Центр круга должен быть, конечно, одинаково удален от каждой из них. А мы знаем, что все точки, одинаково удаленные от двух данных точек, расположены на перпендикуляре, проведенном через середину отрезка, соединяющего эти две точки (§ 55). Проведя этот перпендикуляр, получаем прямую MN(черт. 169), на которой и должен находиться искомый центр дуги. Чтобы узнать, какая именно, из точек этой прямой есть центр дуги, мы избираем на той же дуге другую пару точек, – например, С и Р (черт. 170) и, прилагая к ним те же рассуждения, проводим перпендикуляр LК к середине соединяющей их прямой. Точка О пересечения обоих перпендикуляров и есть искомый центр дуги.

Прямая, соединяющая две точки окружности (или дуги), называется хордой. Поэтому сейчас установленное свойство можно высказать так:

п е р п е н д и к у л я р, п р о в е д е н н ы й ч ер е з с е р е д и н у х о р д ы, п р о х о д и т ч е р е з ц е н т р о к р у ж н о с т и.

Справедливо и обратное утверждение, а именно:

п е р п е н д и к у л я р, п р о в е д е н н ы й к х о р д е ч е р е з ц е н т р к р у г а, п р о х о д и т ч е р е з с е р е д и н у х о р д ы.

Или короче: д и а м е т р, п е р п е н д и к у л я р н ы й к х о р д е, д е л и т е е п о п о л а м.

Действительно: если бы он не проходил через ее середину, то вышло бы (черт. 171), что равные наклонные [ОA и ОВ] имеют не равные проекции [АС и ВС], – а этого, мы знаем, быть не может (§ 54).

Повторительные вопросы

Что называется хордой? – Как называется хорда, проходящая через центр круга? – Как разыскать центр данной дуги, пользуясь хордами? – На каком свойстве хорд основан этот способ? – На какие части делит хорду перпендикуляр к ней, проведенный через центр?

Применения

69. Как убедиться, что хорда не может быть больше диаметра того же круга?

Р е ш е н и е. Хорда CD (черт. 172) короче суммы радиусов СО + ОD (сторона треугольника всегда меньше суммы двух других); следовательно, она меньше и диаметра АOD так как OC= OD= AO = OB.

70. Чему равна хорда, составляющая с диаметром угол в 60°?

Р е ш е н и е. Соединив конец C хорды (черт. 173) с концом Aдиаметра, получим прямоугольный треугольник, так как угол C – прямой. Угол A = 30°, и, значит, BC = половине диаметра AB = радиусу (§ 52).

§ 62. Касательные ц их построение

Другой способ нахождения центра (напр., точеных изделий) – помощью особого инструмента, «центроиска-теля» – основан на свойствах так наз. касательных линий. К а с а т е л ь н о й к окружности называется всякая прямая линия, которая в точке встречи с окружностью перпендикулярна радиусу, проведенному к этой точке. Например, на черт. 174 прямые АВ, CD и EF– касательные к окружности АСЕ. Точки А, С, Е называются «точками касания». Особенность касательной, линии та, что она и м е е т с о к р у ж н о с т ь ю т о л ь к о о д н у о б щ у ю т о ч к у. Действительно, если бы у касательной AB(черт. 175) была с окружностью, кроме этой еще одна общая точка, напр., С, то, соединив ее с центром, мы получили бы равнобедренный треугольник СОА с двумя прямыми углами СА, а это, мы знаем, невозможно (почему?).

С линиями, касательными к окружности, мы встречаемся весьма часто в практической жизни. Веревка, перекинутая через блок, занимает в своих натянутых частях положение касательных прямых к окружности блока. Ремни талей (сочетания нескольких блоков, черт. 176) располагаются по линии общих касательных к окружности колес. Передаточные ремни шкивов тоже занимают положение общих касательных к окружностям шкивов «внешних» касательных в так наз. открытой передаче и «внутренних» – в закрытой.

Как через данную точку вне окружности провести к ней касательную? Другими словами: как через точку А (черт. 177) провести прямую АВ, чтобы угол