Живой учебник геометри

Другой ответ получим, если примем, что сторона в 95 см лежит против угла в 35°.

114. Радиус круга 120 см. Найти длину хорды, «стягивающей» дугу в 48°. (О хорде говорят, что она «стягивает» ту дугу, которая расположена между ее концами).

Р е ш е н и е. Если (черт. 219) дуга АпВ = 48°, то центральный угол О = 48°. Нахождение длины АВ сводится к вычислению основания равнобедренного треугольника по боковой стороне [ОА] и углу при вершине; задача эта уже рассмотрена нами ранее (см. задачу 110).

115. Вычислить сторону правильного семиугольника, вписанного в круг радиуса 30 см.

Р е ш е н и е. Если АВ (черт. 219) есть сторона правильного вписанного семиугольника, то угол О =360°/7= 51°4?

Следовательно, задача сводится к предыдущей.

116. Одна сторона треугольника равна 24 см, другая – 31 см. Угол между ними – 68°. Найти площадь этого треугольника.

Р е ш е н и е. Проведем в треугольнике ABC высоту CD к стороне АВ, длина которой 24 см. Высота эта CD = AC sin A = 31 sin 68°. Следовательно, площадь ABC равна ??24?31 ?sin 68°

Нетрудно убедиться, что вообще, когда известный угол меньше прямого, то п л о щ а д ь т р е у г о л ь н и к а р а в н а п о л у п р о и з в е д е н и ю д в у х е г о с т о р о н н а с и н у с у г л а м е ж д у н и м и. Пользуясь только сообщенными здесь знаниями нельзя решить, все задачи, могущие возникнуть на практике. Подробное ознакомление с отраслью математики, которая называется тригонометрией, открывает гораздо более широкие возможности. Однако, и помощью тех начальных сведений из тригонометрии, которые изложены в этой главе, удается все же успешно разрешать многие практические задачи.

Повторительные вопросы

Что называется тангенсом? Котангенсам? Поясните ваш ответ чертежом. – Как они обозначаются? Укажите доступный вам приближенный способ определения тангенса и котангенса для любого острого угла. – Определите по этому способу tg и cotg нескольких углов и сравните ваши результаты с данными таблицы. – Как изменяется tg при изменении величины угла от 0° до 90°? – Чему равен cotg 0°? Чему равен tg 30°? tg 45°? tg 60°? Чему равны cotgэтих углов? Какая вообще зависимость между tg и cotg одного и того же угла? – Какие углы называются дополнительными? – Какая зависимость между tgострого угла и cotgдополнительного угла? Найдите по таблице tg 26°, tg 38°30’; tg 79°? cotg 83°? – Найдите угол, tgкоторого равен 0,08? 1,35? cotg которого = 2,3? 0,59? Приведите примеры задач, разрешаемых помощью tgили cotg.

Что называется синусом? h осину сом? Как они обозначаются? Определите с помощью чертежа sinи cosнескольких углов и проверьте ваш результат по таблице. Как изменяется sinи как изменяется cosпри изменении величины угла от 0° до 90°. Чему равен sin 45°? cos 45°? sin 30°? cos 30°? sin 60°? cos 60°? Какая зависимость между синусом острого угла и косинусом дополнительного угла? Найдите по таблице: sin 23°, sin 65°, cos 18°, cos 71°. Найдите углы, sin которых: 0,81; 0,13; 0,06; cos которых – 0,76; 0,18; 0,09. Приведите примени задач, разрешаемых с помощью sin или cos.

XV. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ О ТЕЛАХ

В §§ 34–37 и 40 мы познакомились с правилами вычисления поверхности и объема призм и цилиндра. Теперь рассмотрим несколько других тел, часто встречающихся на практике: так наз. «пирамиды», «конусы» и «шары».

§ 88. Пирамида. Ее боковая поверхность и объем

Пирамидой называется тело, ограниченное с одной стороны треугольником или каким-нибудь многоугол ьником (о с н о в а н и е пирамиды), а со всех других сторон – треугольниками, сходящимися в одной точке (в вершине пирамиды). Перпендикуляр, проведенный от вершины пирамиды к ее основанию, называется ее высотою (прямая называется п е р п е н д и к у л я р н о й к п л о с к о с т и, если она составляет прямые углы с каждой прямой, проведенной в этой плоскости через точку встречи). Если основание пирамиды – треугольник, пирамида называется «треугольной», если четырехугольник – «четырехугольной» и т. д. На черт. 238 изображены треугольная, четырехугольная и шестиугольная пирамиды.

Если мы начертим развертку какой-нибудь пирамиды (сделайте это), то установим способ вычисления ее б о к о в о й поверхности: надо вычислить площадь каждой боковой треугольной грани и все эти площади сложить. В том случае когда все боковые грани одинаковы (такая пирамида называется п р а в и л ь н о ю), вычисление упрощается: определяют площадь одной треугольной грани и умножают ее на число граней. Например, боковая поверхность правильной шестиугольной пирамиды равна 6 ? al/2 =3al,

где a– сторона шестиугольника, лежащего в основании пирамиды, а l – высота каждой треугольной грани; она называется «апофемой» правильной пирамиды. Для правильной пирамиды о nгранях боковая поверхность равна n ? al/2 = nal/2

Так как па – есть сумма сторон основания пирамиды, т. е. ее периметр, то правило вычисления боковой поверхности правильной пирамиды можно словесно высказать так:

б о к о в а я п о в е р х н о с т ь п р а в и л ь н о й п и р а м и д ы р а в н а п о л у п р о и з в е д е н и ю п е р и м е т р а о с н о в а н и я н а а п о ф е м у. Правило вычисления объема пирамиды выводится в подробных учебниках математики. Мы приведем его здесь без доказательства, так как доказательство это чересчур сложно:

о б ъ е м п и р а м и д ы р а в е н о д н о й т р е т и п р о и з в е д е н и я е е о с н о в а н и я н а в ыс о т у.

Обозначив площадь основания пирамиды через S, а высоту через A, получим такую формулу объема и пирамиды: