Элегантная Вселенная. Суперструны, скрытые размерности и поиски окончательной теории

они получили нелепый ответ: при любой заданной температуре общая энергия оказывалась бесконечной.

Всем было ясно, что это нонсенс — духовка может дать значительное количество энергии, но уж точно не бесконечное. Для того чтобы понять решение, предложенное Планком, стоит рассмотреть проблему более детально. Оказалось, что когда электромагнитная теория Максвелла применяется для расчёта излучения духовки, она показывает, что волны, генерируемые стенками, должны быть такими, чтобы между противоположными стенками укладывалось целое число максимумов и минимумов. Несколько примеров показано на рис. 4.1. Физики используют для описания таких волн три понятия: длина волны, частота и амплитуда. Длина волны, как показано на рис. 4.2, представляет собой расстояние между соседними максимумами или минимумами волны. Чем больше максимумов и минимумов, тем короче длина волны, так как все они должны уместиться между неподвижными стенками печи. Частота обозначает число циклов колебаний вверх-вниз, которые волна совершает в течение одной секунды. Частота и длина волны являются взаимосвязанными параметрами: чем больше длина волны, тем меньше частота; чем меньше длина волны, тем больше частота. Чтобы понять, почему это так, представьте себе, что вы создаёте волны, раскачивая один конец длинного каната, другой конец которого привязан к стенке. Для того чтобы получить волну с большой длиной волны, вы лениво помахиваете концом каната вверх и вниз. Частота волн равна числу движений вашей руки за секунду и, следовательно, является очень небольшой. Чтобы генерировать более короткую волну, вам придётся трясти ваш конец более интенсивно, более часто: это даст волну более высокой частоты. Наконец, физики используют термин амплитуда для описания максимальной высоты или глубины волны (см. рис. 4.2).

Рис. 4.1. Теория Максвелла говорит нам, что волны излучения в духовке имеют целое число максимумов и минимумов — они совершают полные циклы колебаний

Рис. 4.2. Длина волны определяется как расстояние между соседними максимумами или минимумами. Амплитуда представляет собой наибольшую высоту или глубину волны

Если электромагнитные волны вам кажутся слишком абстрактными, есть другая хорошая аналогия: волны, воспроизводимые при игре на струнах скрипки. Разные длины волн соответствуют разным музыкальным нотам: чем выше частота, тем выше нота. Амплитуда волны, создаваемой скрипичной струной, определяется тем, с какой силой вы цепляете смычком по струне. При большей силе вы вкладываете больше энергии в колебания струны; следовательно, большее количество энергии соответствует большей амплитуде. Результатом будет более громкий звук. Аналогично меньшее количество энергии соответствует меньшей амплитуде и меньшей громкости звука.

Используя установленные в XIX в. уравнения термодинамики, физики смогли определить, какое количество энергии передают горячие стенки духовки электромагнитным волнам каждой разрешённой длины волны, т. е. фактически насколько сильно стенки «цепляют» каждую волну. Полученный результат оказался весьма простым: каждая из разрешённых волн независимо от её длины волны будет нести одно и то же количество энергии (которое определяется температурой духовки). Иными словами, когда речь идёт о количестве переносимой энергии, все возможные волны в духовке оказываются в совершенно равноправном положении.

На первый взгляд мы получили интересный и довольно безобидный результат. Однако это совсем не так. Он провозгласил крах того, что называлось классической физикой. Причина состоит в следующем. Даже при ограничении, чтобы все волны имели целое число максимумов и минимумов, — что исключает огромное число видов волн, — в печи по-прежнему остаётся бесконечное количество волн с нарастающим количеством максимумов и минимумов. Поскольку каждая волна несёт одно и то же количество энергии, бесконечное число волн будет переносить бесконечное количество энергии. Так на рубеже столетий в бочке мёда теоретической физики объявилась огромная «гаргантюанская» ложка дёгтя.

Деление на порции на рубеже веков

В 1900 г. Планк высказал удивительную догадку, позволившую решить эту головоломку и принёсшую ему Нобелевскую премию 1918 г. по физике.^{25} Для того чтобы понять решение Планка, представьте себе, что вы вместе с огромной толпой людей, «бесконечной» по количеству, ютитесь в огромном и холодном ангаре, принадлежащем скаредному домовладельцу. На стенке установлен затейливый цифровой термостат, который регулирует температуру. Узнав, сколько домовладелец требует в уплату за отопление, вы потрясены. Если термостат установлен на 15° C, каждый должен платить домовладельцу по 15 долларов. Если он установлен на 16° C, каждый платит по 16 долларов и т. д. Вы понимаете, что поскольку кроме вас помещение арендует бесконечное число съёмщиков, как только отопление будет включено, домовладелец станет получать бесконечную сумму денег.

Однако, более внимательно прочитав правила оплаты, вы обнаруживаете лазейку. Ваш домовладелец очень занятой человек, он не хочет терять время на отсчитывание сдачи, особенно бесконечному количеству отдельных съёмщиков. Поэтому он устанавливает следующую систему оплаты. Те, кто могут выплатить точную сумму без сдачи, платят строго по счёту. Остальные платят столько, сколько могут набрать имеющимися у них купюрами, но так, чтобы не нужно было давать сдачи. Поэтому, желая привлечь к оплате всех и, в то же время, избежать непомерной платы за тепло, вы уговариваете своих компаньонов разделить все деньги по следующему принципу. Один из вас собирает все центы, другой — все пятицентовые монеты, третий — все десятицентовые, четвёртый — все двадцатипятицентовые и т. д., включая тех, кто будет хранить однодолларовые банкноты, пятидолларовые, десятидолларовые, двадцатидолларовые, пятидесятидолларовые, стодолларовые и даже банкноты более крупных (и незнакомых) номиналов. Вы нахально устанавливаете термостат на 25° C и ждёте появления домовладельца. Когда он приходит, тот компаньон, у которого все центы, платит ему первым, отсчитывая 2 500 монеток. Затем хранитель пятицентовых монет отдаёт 500 монет; хранитель десятицентовых монет отдаёт 250 монет, далее платит обладатель 100 двадцатипятицентовых монет, затем идёт парень с долларами, отдающий домовладельцу 25 бумажек. Далее хранитель пятидолларовых купюр передаёт 5 банкнот, а хранитель десятидолларовых банкнот ограничивается только 2 банкнотами (поскольку три десятидолларовые банкноты уже превышают сумму, подлежащую уплате, и требуют сдачи). Ваш компаньон с купюрами по 20 долларов также ограничивается только 1 банкнотой (ибо с двух уже потребуется сдача), а у всех остальных номинал имеющихся у них купюр — минимальная порция денег — превышает требуемую к оплате сумму. Поэтому они не могут заплатить домовладельцу, и в результате, вместо того, чтобы получить бесконечную сумму денег, на которую рассчитывал домовладелец, он удаляется с жалкими 190 долларами.

Планк использовал очень похожий подход для того, чтобы обойти абсурдный вывод о бесконечном количестве энергии в духовке и получить конечное значение. Вот как он добился этого. Планк смело предположил, что количество энергии, переносимой электромагнитной волной в духовке, подобно деньгам, изменяется порциями. Энергия может быть равна одному такому фундаментальному «номиналу энергии», или двум, или трём и т. д. — но это всё. Согласно Планку, когда речь идёт об энергии, доли не допустимы, точно так же, как вы не можете иметь монету в одну треть цента или в половину от двадцати пяти центов. (В настоящее время денежные номиналы США определяются федеральным казначейством.) В поисках более фундаментального объяснения Планк предположил, что энергетический номинал волны, т. е. минимальное количество энергии, которое она может нести, определяется её частотой. Точнее, он постулировал, что минимальная энергия, которую может нести волна, пропорциональна её частоте: бо?льшая частота (более короткая длина волны) предполагает бо?льшую минимальную