отсутствуют.
Существует только два решения; их можно найти за четверть часа, если действовать правильно.
130. Отыскание квадрата. Даны шесть чисел: 4 784 887, 2 494 651, 8 595 087, 1 385 287, 9 042 451, 9 406 087. Известно, что три из них в сумме дают полный квадрат. Что это за числа?
Читатель, вероятно, не увидит другого пути, кроме утомительного метода проб и ошибок, и все же существует прямое решение задачи, использующее лишь простые арифметические соображения и не требующее извлечения квадратных корней.
131. Жонглирование цифрами. Составьте из десяти цифр три простейших арифметических выражения, используя три из четырех арифметических действий — сложения, вычитания, умножения и деления. (В записи выражений разрешается применять лишь знаки трех выбранных арифметических действий.) Поясним сказанное на примере. Рассмотрим три арифметических выражения
Этот пример не может служить решением задачи, поскольку цифра 2 пропущена, а цифра 3 повторяется дважды.
132. Равные дроби. Можете ли вы составить три самые обычные дроби (скажем, что-нибудь вроде ?, ?, ? или 
), используя каждую из девяти цифр по одному и только одному разу? Дроби можно образовывать одним из следующих способов:
Существует только пять решений, но пятое содержит некую «изюминку» — тонкость, которая, быть может, ускользнет от читателя.
133. Цифры и простые числа. Используя каждую из девяти цифр один и только один раз, составить простые числа (числа, которые не делятся без остатка ни на какое целое число, кроме 1 и самих себя), сумма которых была бы наименьшей.
Приведем пример. Четыре простых числа содержат все девять цифр по одному и только одному разу, их сумма равна 450, однако ее можно существенно уменьшить. Это совсем простая головоломка.
134. Еще раз о цифровых квадратах. Из девяти цифр многими различными способами можно составить квадрат таким образом, чтобы числа, стоящие в первой и второй строках, в сумме давали третью строку. Мы приводим три примера, в которых обнаруживается еще одна закономерность: разность между второй суммой (819) и первой (657) равна разности между третьей суммой (981) и второй (819). Составьте восемь квадратов (каждый из девяти цифр) так, чтобы разность между соседними суммами была постоянной. Разумеется, эта разность будет отличаться от 162.
135. Девять цифр. Если 32 547 891 умножить на 6, использовав каждую из девяти цифр один и только один раз, то получится произведение, равное 195 287 346 (также содержащее девять цифр по одному и только одному разу). Не могли бы вы найти другое число, обладающее тем же свойством при умножении на 6? Помните, что каждая из девяти цифр должна появиться один и только один раз как в сомножителях, так и в произведении.
136. Двадцать четыре. В одной книге было написано: «Запишите число 24 с помощью трех одинаковых цифр, отличных от 8. (Существуют два решения этой задачи.)»
Там же приводились два ответа: 22 + 2 = 24 и 33 - 3 = 24. Читатели, знакомые со старой головоломкой «Четыре четверки» и с другими головоломками такого рода, могут спросить, почему существует лишь два приведенных выше решения. Может быть, вы найдете больше?
137. Девять бочек. Сколькими способами можно разместить девять бочек в три яруса так, чтобы числа, написанные на бочках, расположенных справа от любой из бочек или под ней, были больше числа, написанного на самой бочке? Первым правильным размещением, которое придет вам в голову, будет то, при котором в верхнем ряду стоит 123, в следующем 456 и внизу 789. На рисунке я привожу второе размещение. Сколькими способами можно разместить бочки?
138. Восемь карт. Полковник Крэкхэм во время завтрака положил на стол 8 перенумерованных карт (см. рисунок) и попросил своих юных друзей переложить их с помощью возможно меньшего числа передвижений таким образом, чтобы суммы цифр, стоящих в двух столбцах, были равны. Можно ли это сделать?
139. Два числа. Можете ли вы найти два числа, составленные из одних единиц, которые при сложении и умножении дают одинаковый результат? Конечно, 1 и 11 очень близки к решению, но все же для решения не годятся, так как при сложении они дают 12, а при умножении — только 11.
140. Пример на умножение. Однажды за завтраком Крэкхэмы рассуждали о высоких материях, как вдруг Джордж попросил свою сестру Дору быстро перемножить
Сколько времени займет отыскание этого произведения у читателя?
141. Интересный сомножитель. Какое число обладает тем свойством, что если его умножить на 1, 2, 3, 4, 5 или 6, то в ответе появятся лишь те цифры, которые содержатся в записи исходного числа?
142. Сумма кубов. Числа 407 и 370 совпадают с суммой кубов своих цифр. Так, 4 в кубе равно 64, куб 0 равен 0, а куб 7 есть 343. Сложив 64, 0 и 343, вы получите 407. Аналогично куб числа 3 (27), прибавленный к кубу числа 7 (343), даст 370.
Не могли бы вы найти число, не содержащее нуля и обладающее тем же свойством? Разумеется, мы исключаем тривиальный случай числа, равного 1.
143. Одинокая семерка.
Эта головоломка, насколько я знаю, первый пример головоломки такого рода, в которой известна лишь одна цифра. По-видимому, она имеет единственное решение, и, как это ни странно, восстановить пропущенные цифры совсем нетрудно. Так, поскольку делитель, умноженный на 7, дает три цифры, то мы заключаем, что первая цифра делителя равна 1. Затем можно показать, что первая цифра делимого также равна 1. Поскольку две цифры делимого сносятся вниз, предпоследняя цифра частного равна 0. Наконец, первая и последняя цифры частного больше 7, поскольку в произведении с делителем они дают четыре цифры, и т. д.
144. Совсем без цифр.
Вот головоломка, составленная мистером А. Корриганом, в которой не известно ни одной цифры. Обратите внимание на запятую в частном. Благодаря тому что после запятой стоят четыре цифры, головоломка решается неожиданно легко.
145. Простое умножение. Джордж Крэкхэм однажды за завтраком предложил следующую головоломку:
Джордж попросил поставить вместо звездочек все десять цифр в каждой строке так, чтобы при умножении получился правильный ответ. Он сказал также, что 0 не должен стоять ни в начале, ни в конце данных чисел.
Не сможет ли читатель найти ответ?
146. Полностью без цифр.
Вот еще одна хорошая головоломка. Условия ее таковы:
1. Никакая цифра не встречается дважды ни в одном ряду цифр, кроме делимого.
2. Если прибавить 2 к последней цифре частного, то получится предпоследняя цифра, а если 2 прибавить к третьей справа цифре частного, то получится четвертая справа цифра. Так, например, частное могло бы оканчиваться на 9742 или на 3186.
