Пятьсот двадцать головоломок

считать решением задачи.)

233. Умножение дат. В 1928 г. были четыре даты, обладающие замечательным свойством: при записи их обычным образом произведение числа на месяц дает год. Вот эти даты: 28/1 — 28, 14/2 — 28, 7/4 — 28 и 4/7 — 28.

Сколько раз в нашем веке (с 1901 по 2000 г. включительно) встречается такое свойство? Может быть, вы попытаетесь найти год нашего столетия, в котором число таких дат максимально? Существует лишь один такой год.

234. Сокращенные действия. Время от времени появляются различные, подчас довольно хитроумные приемы, облегчающие устный счет. Вот один такой прием, который заинтересует тех, кто с ним не знаком.

Можете ли вы перемножить в уме 993 и 879? Любопытно, что если мы имеем два двузначных числа, содержащих одинаковое количество десятков, и при этом сумма цифр их младших разрядов равна 10, то такие числа всегда можно перемножить в уме следующим образом. Допустим, нам надо умножить 97 на 93. Умножьте 7 на 3 и запишите результат, затем прибавьте 1 к 9 и умножьте на другую девятку, 9 ? 10 = 90. Итак, 97 ? 23 = 9021.

Это правило оказывается очень полезным при возведении в квадрат чисел, оканчивающихся на 5, как, например, 85² = 7225. Имеется также простое правило умножения двух дробей, целые части которых совпадают, а дробные части в сумме дают единицу. Возьмем, например, 7? ? 7? = 56. Перемножив дробные части, получим ; прибавим 1 к 7 и, умножив результат на другую семерку, получим 7 ? 8 = 56.

235. Еще один любопытный пример на умножение. Вот еще одна из головоломок профессора Рэкбрейна.

Какое число, будучи умноженным на 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81 или 99, дает произведение, у которого первая и последняя цифры совпадают с соответствующими цифрами множителя, а будучи умноженным на 90, дает произведение, у которого последние две цифры совпадают с цифрами множителей?

236. Числовой кроссворд. На рисунке вы видите числовой кроссворд. Он похож на обычный кроссворд, но с той разницей, что в клеточки вместо букв вписываются цифры. При этом должны выполняться следующие условия.

По горизонтали: 1. Точный квадрат. 4. Точный квадрат. 5. Точный квадрат. 8. Число, сумма цифр которого равна 35. 11. Квадратный корень из числа, стоящего под номером 39 по горизонтали. 13. Точный квадрат. 14. Точный квадрат. 15. Квадрат числа, стоящего под номером 36 по горизонтали. 17. Квадрат половины числа, стоящего под номером 11 по горизонтали. 18. Число с тремя одинаковыми цифрами. 19. Произведение числа, стоящего под номером 4 по горизонтали, и числа, стоящего под номером 33 по горизонтали. 21. Точный квадрат. 22. Число, стоящее под номером 5 по горизонтали, умноженное на 5. 23. Число, все цифры которого одинаковы, за исключением цифры, стоящей в середине. 25. Квадрат числа, стоящего под номером 2 по вертикали. 27. См. 20 по вертикали. 28. Четвертая степень. 29. Сумма чисел, стоящих под номерами 18 и 31 по горизонтали. 31. Треугольное число. 33. Число, на единицу большее учетверенного числа, стоящего под номером 36 по горизонтали. 34. Число, сумма всех цифр которого равна 18, а три средние цифры — тройки. 36. Нечетное число. 37. Число, все цифры которого, за исключением одной, четные, а их сумма равна 29. 39. Четвертая степень. 40. Куб. 41. Удвоенный квадрат.

По вертикали: 1. Число, читаемое одинаково в обе стороны. 2. Квадратный корень из числа, стоящего под номером 28 по горизонтали. 3. Сумма чисел, стоящих под номерами 17 и 21 по горизонтали. 4. Число, сумма цифр которого равна 19. 5. Число, сумма цифр которого равна 26. 6. Сумма чисел, стоящих под номерами 14 и 33 по горизонтали. 7. Точный куб. 9. Точный куб. 10. Точный квадрат. 12. Число, сумма цифр которого равна 30. 14. Число, все цифры которого одинаковы. 16. Число, сумма цифр которого равна числу, стоящему под номером 2 по вертикали. 18. Число, все цифры которого одинаковы, за исключением первой, равной 1. 20. Сумма чисел, стоящих под номерами 17 и 27 по горизонтали. 21. Число, кратное 19. 22. Точный квадрат. 24. Точный квадрат. 26. Квадрат числа, стоящего под номером 18 по горизонтали. 28. Четвертая степень числа, стоящего под номером 4 по горизонтали. 29. Удвоенное число, стоящее под номером 15 по горизонтали. 30. Треугольное число. 32. Число, оканчивающееся на 8, сумма цифр которого равна 20. 34. Число, стоящее под номером 21 по горизонтали, умноженное на 6. 35. Точный куб. 37. Точный квадрат. 38. Точный куб.

237. Подсчет потерь. Один английский офицер рассказывал, что он входил в состав отряда, насчитывавшего первоначально 1000 человек. Во время одной из операций отряд понес тяжелые потери, а оставшиеся в живых попали в плен и их отправили в лагерь для военнопленных.

В первый день пути удалось бежать ? всех оставшихся в живых членов отряда, на второй день бежала ? оставшихся и один человек умер, на третий день бежала ? всех оставшихся. Остальных пленных по прибытии в лагерь разделили на 4 равные группы.

Сколько человек погибло во время операции?

238. Пизанская башня.

— Во время путешествия по Италии вместе с одним американцем мне довелось взобраться на самый верх Пизанской башни.

— Не слишком прямо, а? — спросил мой спутник. — Надо сказать, у нас в Штатах умеют строить попрямее. Если бы какой-нибудь из наших небоскребов так накренился, архитектору не поздоровилось бы.

Я заметил, что мы стоим на высоте 179 футов над землей, и тут мой спутник задал мне следующий вопрос:

— Если отсюда бросить вниз упругий мячик, который при каждом подскоке будет подниматься на той высоты, с которой упал, то какое расстояние он пройдет к тому моменту, когда остановится?

Эта задачка показалась мне очень любопытной.

239. Заказ на ограду. Один человек заказал ограду, общая длина которой составляла 297 м. Ограда должна была состоять из 16 секций, каждая из которых содержала бы целое число метров. Причем 8 секций должны иметь максимальную длину, а остальные — быть на 1, 2 или 3 м короче.

Как следует выполнить этот заказ? Допустим, что 8 секций максимальной длины содержат по 15 м, тогда остальные секции имеют длину 14, 13 или 12 м; естественно, брать секции каждого из этих размеров не обязательно.

240. Геометрическая прогрессия. Профессор Рэкбрейн предложил однажды утром своим друзьям найти не менее трех целых чисел, которые образуют геометрическую прогрессию, начинающуюся с 1, и сумма которых должна быть точным квадратом. (Например, 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 = 63. Однако последнему числу, чтобы стать квадратом, не хватает единицы. Мне известны только два решения в целых числах; оба их найти совсем не трудно.)

241. Мостовая. Два квадратных участка мостовой нужно выложить квадратными плитами размером 1 м². Всего для этого потребуется 2120 плит, сторона же одного участка на 12 м больше стороны другого.

Каковы размеры каждого участка?

242. Колонки! Жители Мадбёри решили окружить украшающий их городок памятник изящными колонками. Выяснилось, что если колонки ставить через 10 см, то не хватит 150 колонок, если же их ставить через 30 см, то 70 колонок останется.

Сколько было колонок?

243. Обезьяна и груз. Вот одна забавная задачка, которая представляет собой симбиоз нескольких головоломок, в том числе головоломок Льюиса Кэролла «Обезьяна и груз» и Сэма Лойда «Сколько лет Мэри?» Хорошенько подумав, вы ее безусловно решите.

Через блок перекинута веревка, на одном конце которой висит обезьяна, а на другом груз. Длина обоих концов веревки одинакова, и система находится в равновесии. Каждый фут веревки весит 4 унции. Возраст обезьяны вместе с возрастом ее матери составляет 4 года. Обезьяна весит столько фунтов[15], сколько лет ее матери. Мать обезьяны вдвое старше, чем была обезьяна, когда ее