Пятьсот двадцать головоломок

319. Объемы подобных тел относятся, как кубы длин соответственных линейных элементов. Простейший ответ состоит в том, что длины трех яиц равны соответственно 1?, 2 и 2? дюйма. Кубы этих трех чисел равны 2?, 8 и , а их сумма составляет точно 27, или 3³. Следующий простейший ответ есть 2?, 2 и ? дюйма. Но вообще-то ответов существует бесконечно много.

320. Мастер сделал ящик с внутренними размерами 30 ? 10 ? 10 см и в него поместил подставку. Затем он наполнил ящик чистым сухим песком, как следует утряс его и выровнял верхнюю часть. Потом он вынул подставку, встряхнул оставшийся песок, выровнял его и обнаружил, что его поверхность находится ровно в 20 см от верхнего края ящика. Отсюда стало ясно, что подставка содержала 2 дм³ древесины и что был снят 1 дм³.

321. Поднимаясь на 2 м по стволу, белка совершает путь длиной 2,5 м. Следовательно, взобравшись на дерево высотой 8 м, она пройдет путь длиной 10 м.

322. Пусть диаметр сигареты равен 2 единицам, и пусть 8 рядов по 20 сигарет в каждом (см. случай A) целиком заполняют коробку. Внутренняя длина коробки в таком случае равна 40, а глубина 16 единицам. Теперь если мы поместим 20 сигарет в нижнем ряду и если вместо 20 в следующем ряду мы положим 19 штук, как показано в случае B, то сэкономим на этом 0,268 (точнее, 2 -) высоты. Этот второй ряд и каждый дополнительный ряд из 20 или 19 (по очереди) сигарет увеличивают высоту на 1,732. Следовательно, мы получим девять рядов общей высотой 2 + 8 ? 1,732 = 15,856 единицы, что меньше нашей глубины, составляющей 16 единиц. Таким образом, мы увеличим число сигарет на 20 (благодаря дополнительному ряду) и уменьшим его на 4 (1 штука в каждом ряду из 19), что даст чистый прирост 16 сигарет.

323. Сделайте разрезы, как показано на рисунке, и поместите полученные части на места, указанные пунктиром. Приведенное решение не единственно.

324. На рисунке показано простейшее и, я думаю, наиболее изящное решение, связанное с разрезанием крышки стола на шесть частей. Сдвинув часть A вдоль B на одну ступеньку вверх, вы получите часть крышки стола размером 12 ? 12 см. Сдвинув часть C вверх вдоль D и соединив с E, вы получите квадрат 15 ? 15 см. Квадрат 16 ? 16 см не разрезается.

325. Стороны новых квадратов должны быть равными 24 и 7 см. Сделайте разрезы, как показано на рисунке слева. Из «деталей» A, B и C можно составить новый квадрат (см. правую часть рисунка). Квадрат D вырезается целиком.

326. Здесь вы видите, как следует разрезать букву E на пять частей, чтобы из них можно было составить квадрат, при условии, что части нельзя переворачивать.

При условии, что части можно переворачивать, E достаточно разрезать на четыре части.

327. Разрежьте шестиугольник пополам и сложите половинки так, чтобы получилась фигура ABCD. Продолжите прямую DC до точки E так, чтобы отрезок CE был равен высоте CF. Затем, поставив одну ножку циркуля в G, опишите полуокружность DHE и проведите прямую CH перпендикулярно DE. Теперь СН является средним пропорциональным между DC и CE и, следовательно, равно стороне искомого квадрата. Из C опишите дугу HJ, а из K — полуокружность DJC. Проведите CJ и DJ. Отложите отрезок JL, равный JC, и достройте квадрат. Остальное не требует объяснений.

328. На помещенном здесь рисунке показано, как следует разрезать испорченный крест на четыре части, из которых можно составить квадрат. Надо просто продолжить каждую сторону квадратного отверстия до соответствующего угла, и все готово!

329. Из рисунка ясно, как следует разрезать крест на 7 частей, чтобы из них получился квадрат.

330. Разрежьте звезду по центру на 4 части, которые поместите по углам рамки. Просвет образует правильный мальтийский крест (см. рисунок).

331. На рисунке жирной ступенчатой линией показано, как следует разрезать флаг всего лишь на две части, чтобы, передвинув нижнюю часть на одну ступеньку вверх, получить флаг с десятью полосами.

332. Прямоугольную доску можно разрезать методом лестницы на две части, из которых получится квадрат в том случае, если длины ее сторон совпадают с квадратами двух последовательных целых чисел. Так, в приведенной ниже таблице стороны соответственно равны 1² (или 1) и 2² (4), или 2² (4) и 3² (9), или 3² (9) и 4² (или 16) и т. д. Таблицу можно продолжать неограниченно.

Стороны	Число	Сторона
	ступенек	квадрата
1 ? 4	1	2
4 ? 9	1	2
9 ? 16	1	2
16 ? 25	1	2
25 ? 36	1	2

На приведенном здесь рисунке случай I является простейшим — размер доски 1 ? 4; в случае II доска имеет размер 4 ? 9 и в случае III — 16 ? 25. Можно заметить, что число ступенек увеличивается по определенному закону, а их размеры легко найти с помощью таблицы. Например, для доски 16 ? 25, поскольку сторона квадрата равна 20, ступенька имеет высоту 20 - 16 = 4 и ширину 25 - 20 = 5.

Так как стороны выражаются квадратами, а произведение двух квадратов в свою очередь представляет собою квадрат, то площадь прямоугольника также выражается квадратом. Но отсюда вовсе не следует, что, например, доска размером 9 ? 25 окажется подходящей, потому что ее площадь равна площади квадрата со стороной 15. На нашем рисунке в случае IV показан наилучший вариант для такой доски, но при этом доску приходится резать на три, а не на две части, как требуется. Это происходит потому, что ни число 9 не является кратным приросту высоты (6), ни число 25 — кратным убыванию длины (10). Следовательно, нужных ступенек здесь быть не может.

Конечно, подойдет любое кратное сторонам. Так, решение для случая 8 ? 18 аналогично решению для случая 4 ? 9 и содержит две ступеньки, при этом все размеры просто удваиваются. Доска 4 ? 6? также подойдет нам, поскольку отношение ее сторон совпадает с отношением сторон у доски 16 ? 25. Высота ступеньки будет равна 1, а ширина 1?. В первом случае мы произвели сокращение, как у дроби, а во втором умножили все на 4, чтобы избавиться от дробей. Далее мы заметим, что и 4 ? 9, и 16 ? 25 являются квадратами последовательных целых чисел; следовательно, решение существует.