Большая Советская Энциклопедия (ГИ)

Гипербола (математич.)

Гипе'рбола (греч. hyperbole), линия пересечения круглого конуса с плоскостью, встречающей обе его полости (рис. 1). Г. может быть также определена как геометрическое место точек М плоскости, разность расстоянии которых до двух определенных точек F₁ и F₂ (фокусов Г.) плоскости постоянна. Если выбрать систему координат хОу так, как указано на рис. 2 (OF₁ = OF₂ = с), то уравнение Г. примет вид:

 

  (2а = F₁M — F₂M, ). Г. — линия второго порядка; состоит из двух бесконечных ветвей K₁A₁K'₁ и K₂A₂K'₂, она симметрична относительно осей F₁F₂ и B₁B₂, точка О — центр Г. — является её центром симметрии; отрезки A₁A₂ = 2а, B₁B₂ = 2b называются соответственно действительной осью Г. и мнимой осью Г., число е = с/а > 1 — эксцентриситетом Г. Прямые D₁D'₁ и D₂D'₂, уравнения которых х = — a/e и х = а/е, называются директрисами Г.; отношение расстояния точки Г. до ближайшего фокуса к расстоянию до ближайшей директрисы постоянно и равно эксцентриситету. Точки A₁ и А₂ пересечения Г. с осью Ох называются её вершинами. Прямые у = ± b/a (изображенные на рис. 2 пунктиром) являются асимптотами Г. График обратной пропорциональности у = k/x является Г. См. также Конические сечения.

Рис. 1 — слева, и рис. 2 — справа к ст. Гипербола.

Гипербола (художеств. приём)

Гипе'рбола (от греч. hyperbole — преувеличение), стилистическая фигура или художественный приём, основанные на преувеличении: явлению приписывается какой-либо признак в такой мере, в какой оно им реально не обладает (например, у Н. В Гоголя: «шаровары шириной в Чёрное море»). Т. о., Г. является художественной условностью и вводится в экспрессивных целях. Г. характерна для поэтики эпического фольклора, для поэзии романтизма и жанра сатиры (Н. В. Гоголь, В. В. Маяковский). Противоположная Г. стилистическая фигура — литота.

Гиперболическая геометрия

Гиперболи'ческая геоме'трия, то же, что Лобачевского геометрия.

Гиперболическая скорость

Гиперболи'ческая ско'рость, см. Космические скорости.

Гиперболическая спираль

Гиперболи'ческая спира'ль, плоская кривая. См. Линия.

Гиперболическая точка

Гиперболи'ческая то'чка поверхности, точка, в которой полная кривизна поверхности отрицательна.

Гиперболические функции

Гиперболи'ческие фу'нкции, функции, определяемые формулами:

 

(гиперболический синус),

 

(гиперболический косинус).

  Иногда рассматривается также гиперболический тангенс:

 

(графики Г. ф. см. на рис. 1). Г. ф. связаны между собой соотношениями, аналогичными соотношениям между тригонометрическими функциями:

 

  Г. ф. можно выразить через тригонометрические:

 

  Геометрически Г. ф. получаются из рассмотрения равнобочной гиперболы х²—у² = 1, которую можно задать параметрическими уравнениями х = ch t, у = sh t, аргумент t представляет двойную площадь сектора гиперболы ОАС (см. рис. 2).

  Обратные Г. ф. (ареа-синус гиперболический и ареа-косинус гиперболический) определяются формулами:

 

  Лит.: Янпольский A. Р., Гиперболические функции, М., 1960.

Рис. 1 — слева, и рис. 2 — справа к ст. Гиперболические функции.

Гиперболический логарифм

Гиперболи'ческий логари'фм, то же, что натуральный логарифм.

Гиперболический параболоид

Гиперболи'ческий параболо'ид, один из двух видов параболоидов.

Гиперболический цилиндр

Гиперболи'ческий цили'ндр, линейчатая цилиндрическая поверхность, уравнение которой может быть приведено к виду х²/а² — y²/b² = 1. См. Поверхности второго порядка.

Гиперболоидная передача

Гиперболо'идная переда'ча, зубчатая передача для осуществления вращения между произвольно расположенными, не лежащими в одной плоскости осями, при постоянном передаточном числе. Начальные поверхности (аксоиды) колёс в Г. п. являются частями гиперболоидов вращения и соприкасаются по прямой линии. В качестве начальных поверхностей гиперболоидных зубчатых колёс используются либо произвольно вырезанные сопряжённые части гиперболоидов, либо части, вырезанные из их горловин. Вследствие сложности изготовления гиперболоидных зубчатых колёс Г. п. практически не применяются. Для передачи вращения между осями, не лежащими в одной плоскости, используют винтовые зубчатые передачи, в колёсах которых части, вырезанные из горловин гиперболоидов, заменены цилиндрами, или гипоидные передачи, в колёсах которых части гиперболоидов заменены усечёнными конусами.