и S', причём в первой определены отношения
а во второй — отношения
Системы S и S' с указанными в них отношениями называются изоморфными, если их можно поставить в такое взаимно однозначное соответствие
(где х — произвольный элемент S , а x' — произвольный элемент S' ), что из наличия Fk (x 1 ,x 2 ,... ) вытекает F'k (х' 1 ,х' 2 ,... ), и наоборот. Само указанное соответствие называется при этом изоморфным отображением, или изоморфизмом. [В приведённом выше примере в системе R определено отношение F (x, x 1 , x 2 ), где x = x 1 + x 2 , в системе Р — отношение F' (y , y 1 , y 2 ), где у = у 1 у 2 ; взаимно однозначное соответствие устанавливается по формулам у = ax , х = 1oga y. ]
Понятие И. возникло в теории групп, где впервые был понят тот факт, что изучение внутренней структуры двух изоморфных систем объектов представляет собой одну и ту же задачу.
Аксиомы любой математической теории определяют систему объектов, изучаемую этой теорией, всегда только с точностью до И.: аксиоматически построенная математическая теория, применимая к какой-либо одной системе объектов, всегда полностью применима и к другой. Поэтому каждая аксиоматически изложенная математическая теория допускает не одну, а много «интерпретаций», или «моделей» (см., например, в ст. Геометрия , раздел Истолкование геометрии).
Понятие И. включает в себя как частный случай понятие гомеоморфизма , играющее основную роль в топологии .
Частным случаем И. является автоморфизм — взаимно однозначное отображение
системы объектов с заданными отношениями Fk (x 1 , x 2 , ...) на самоё себя, при котором из Fk (x 1 , x 2 , ...) вытекает F'k (x' 1 , x' 2 , ...), и наоборот. Это понятие тоже возникло в теории групп, но потом оказалось существенным в самых различных разделах математики.
