частиц. При рассмотрении взаимодействующих полей вакуумным называют низшее энергетическое состояние всей системы этих полей.
Если полю, находящемуся в вакуумном состоянии, сообщить достаточную энергию, то происходит возбуждение поля, т. е. рождение частицы — кванта этого поля. Т. о., появляется возможность описать порождение частиц как переход из «ненаблюдаемого» вакуумного состояния в состояние реальное. Такой подход позволяет перенести в К. т. п. хорошо разработанные методы квантовой механики — свести изменение числа частиц данного поля к квантовым переходам этих частиц из одних состояний в другие.
Взаимные превращения частиц, порождение одних и уничтожение других, можно количественно описывать при помощи так называемого метода вторичного квантования [предложенного в 1927 П. Дираком и получившего дальнейшее развитие в работах В. А. Фока (1932)].
2. Вторичное квантование. Переход от классической механики к квантовой называют просто квантованием, или реже — «первичным квантованием». Как уже говорилось, такое квантование не даёт возможности описывать изменение числа частиц в системе. Основной чертой метода вторичного квантования является введение операторов, описывающих порождение и уничтожение частиц. Поясним действие этих операторов на простом примере (или модели) теории, в которой рассматриваются одинаковые частицы, находящиеся в одном и том же состоянии (например, все фотоны считаются имеющими одинаковую частоту, направление распространения и поляризацию). Т. к. число частиц в данном состоянии может быть произвольным, то этот случай соответствует бозе-частицам, или бозонам,
подчиняющимся Бозе — Эйнштейна статистике.
В квантовой теории состояние системы частиц описывается волновой функцией или вектором состояния. Введём для описания состояния с N частицами вектор состояния YN; квадрат модуля YN, |YN| 2, определяющий вероятность обнаружения N частиц, обращается, очевидно, в 1, если N достоверно известно. Это означает, что вектор состояния с любым фиксированным N нормирован на 1. Введём теперь оператор уничтожения частицы а– и оператор рождения частицы а+. По определению, а– переводит состояние с N частицами в состояние с N—1 частицей, т. е.
(3)
Аналогично, оператор порождения частицы а+ переводит состояние YN в состояние с N + 1 частицей:
, (4)
[множители
в (3) и
в (4) вводятся именно для выполнения условия нормировки: |YN|2= 1]. В частности, при N = 0 а +Y0 = Y1, где Y0 — вектор состояния, характеризующий вакуум; т. е. одночастичное состояние получается в результате порождения из «вакуума» одной частицы. Однако а–Y0 = 0, поскольку невозможно уничтожить частицу в состоянии, в котором частиц нет; это равенство можно считать определением вакуума. Вакуумное состояние Y0 имеет в К. т. п. особое значение, т.к. из него при помощи операторов а+ можно получить любое состояние. Действительно, в рассматриваемом случае (когда состояние всей системы определяется только числом частиц)
,
, (5)
……………………………………

Легко показать, что порядок действия операторов а– и а+ не безразличен. Действительно, а–(а+Y0) = а–Y1 = Y0, в то время как а+(а–Y0) = 0. Т. о., (a–a+ — a+a–) Y0 = Y0, или
a–a+— a+a– = 1, (6)
т. е. операторы а + и а– являются непереставимыми (некоммутирующими). Соотношения типа (6), устанавливающие связь между действием двух операторов, взятых в различном порядке называется перестановочными соотношениями, или коммутационными соотношениями для этих операторов, а выражения вида
— коммутаторами операторов
и
.
Если учесть, что частицы могут находиться в различных состояниях, то, записывая операторы порождения и уничтожения, надо дополнительно указывать, к какому состоянию частицы эти операторы относятся. В квантовой теории состояния задаются набором квантовых чисел, определяющих энергию, спин и др. физические величины; для простоты обозначим всю совокупность квантовых чисел одним индексом n: так, а +n обозначает оператор рождения частицы в состоянии с набором квантовых чисел n. Средние числа частиц, находящихся в состояниях, соответствующих различным n, называются числами заполнения этих состояний.
Рассмотрим выражение a–n а+mY0. Сначала на Y0 действует «ближайший» к нему оператор а +m; это отвечает порождению частицы в состоянии m. Если n = m, то последующее действие оператора а–n приводит опять к Y0, т. е. а–n а+n Y0 = Y0. Если n ¹ m, то а–n а+m Y0 = 0, поскольку невозможно уничтожение таких частиц, которых нет (оператор а– n описывает уничтожение частиц в таких состояниях n, каких не возникает при действии a+n на Y0). С учетом различных состоянии частиц перестановочные соотношения для операторов рождения и уничтожения имеют следующий вид:


а– nа–m —а–m а– n = 0,
а+nа +m—а+m а+n = 0 (7)
Однако существуют поля, для которых связь между произведением операторов рождения и уничтожения, взятых в различном порядке, имеет др. вид: знак минус в (7) заменяется на плюс (это называется заменой коммутаторов на антикоммутаторы),

(8)
а–nа–m —а– m а–n = 0, а +nа+m—а+m а +n = 0
[эти соотношения также относят к классу перестановочных соотношений, хотя они и не имеют вида (6)]. Операторы, подчиняющиеся соотношениям (8), необходимо вводить для полей, кванты которых имеют полуцелый спин (т. е. являются фермионами) и вследствие этого подчиняются Паули принципу, согласно которому в системе таких частиц (например, электронов) невозможно существование двух или более частиц в одинаковых состояниях (в состояниях с одинаковым набором всех квантовых чисел). Действительно, построив вектор состояния, содержащего 2 частицы