принадлежат множеству Y ; при этом для каждого данного х Î Х элемент у = f (x ) множества Y называется образом элемента х Î Х при данном отображении или значением данной функции для данного значения её аргумента х .
Примеры. 1) Пусть задан в плоскости с данной на ней прямоугольной системой координат квадрат с вершинами (0; 0), (0; 1), (1; 0), (1; 1) и осуществлена проекция этого квадрата, например на ось абсцисс; эта проекция есть отображение множества Х всех точек квадрата на множество Y всех точек его основания; точке с координатами (х; у ) соответствует точка (х ; 0).
2) Пусть Х — множество всех действительных чисел; если для каждого действительного числа x Î X положить у = f (x ) = x 3 , то тем самым будет установлено отображение множества Х в себя.
3) Пусть Х — множество всех действительных чисел; если для каждого х Î Х положить у = f (x ) = arctg х , то этим будет установлено отображение множества Х на интервал ( — p/2, p/2).
(1—1)-соответствие между двумя множествами Х и Y есть такое отображение множества Х в множество Y , при котором каждый элемент множества Y является образом одного и только одного элемента множества X . Отображения примеров 2) и 3) взаимно однозначны, примера 1) — нет.
Операции над множествами. Суммой, или объединением, двух, трёх, вообще произвольного конечного или бесконечного множества множеств называется множество всех тех предметов, каждый из которых есть элемент хотя бы одного из данных множеств-слагаемых. Пересечением двух, трёх, вообще любого конечного или бесконечного множества множеств называется множество всех элементов, общих всем данным множествам. Пересечение даже двух непустых множеств может быть пустым. Разностью между множеством В и множеством А называется множество всех элементов из В , не являющихся элементами из А : разность между множеством В и его частью А называется дополнением множества А в множестве В .
Операции сложения и пересечения множеств удовлетворяют условиям сочетательности и переместительности (см. Ассоциативность , Коммутативность ). Операция пересечения, кроме того, распределительна по отношению к сложению и вычитанию. Эти действия обладают тем общим свойством, что если их производить над множествами, являющимися подмножествами одного и того же множества М , то и результат будет подмножеством множества М . Указанным свойством не обладает т. н. внешнее умножение множеств: внешним произведением множеств Х и Y называется множество Х ´ У всевозможных пар (х, у ), где х Î Х , y Î Y . Другим в этом смысле «внешним» действием является «возведение в степень»: степенью Y X называется множество всех отображений множества Х в множество Y . Можно определить внешнее умножение любого множества множеств так, что в случае совпадения множителей оно перейдёт в возведение в степень. Если x и h мощности множеств Х и Y , то xh и hx определяются соответственно как мощности множеств Х ´ Y и Y Х , что в случае конечных множеств согласуется с умножением и возведением в степень натуральных чисел. Аналогично определяется сумма мощностей как мощность суммы попарно непересекающихся множеств с заданными мощностями.
Упорядоченные множества. Установить в данном множестве Х порядок — значит установить для некоторых пар x', х' элементов этого множества какое-то правило предшествования (следования), выражаемое словами
