и. было дано с помощью интегрального преобразования Лапласа. Если при этом преобразовании функция f (t ), 0 £ t < + ¥, переходит в функцию F (z ), z = x+iy :
f (t ) ® F (z ),
то производная
f (t ) ® zF (z ) – f (0) (*)
и интеграл
.
Следовательно, оператор дифференцирования р переходит в оператор умножения на переменную z , а интегрирование сводится к делению на z . В след. краткой таблице даны (при t ³ 0 ) примеры соответствия
| оригинал ® | изображение |
| f (t ) | F (z ) |
| 1 | 1/z |
| t n | n !/z n +1 (n > 0 – целое) |
| е l t | 1/(z – l) |
| cos wt | z /(z 2 + w2 ) |
| sin wt | w/(z 2 + w2 ) |
Пример. Найти методом О. и. решение у = f (t ) линейного дифференциального уравнения
у” – у' – 6у = 2e 4t
при начальных условиях
y 0 = f (0) = 0 и y 0 '=f ’(0) = 0.
Переходя от искомой функции f
