Каждой части Т множества А соответствует часть f (T ) множества В , состоящая из образов точек этой части; она называется образом Т . Если все точки части Q множества В являются образами точек из А , то совокупность всех точек х из А таких, что f (x ) лежит в Q , называются полным прообразом Q и обозначается f –1 (Q ). При взаимно однозначном О. полный прообраз каждого элемента множества В состоит из одного элемента множества А .
Взаимно однозначное О. имеет обратное О., сопоставляющее элементу у из В его прообраз f –1 (y ). Взаимно однозначное О. называется топологическим, или гомеоморфным, если как оно, так и обратное ему О. непрерывны. При гомеоморфных О. сохраняются лишь наиболее общие свойства фигур, как, например, связность,, ориентируемость, размерность и др. Так, квадрат и круг гомеоморфны, но квадрат и куб не гомеоморфны. Свойства фигур, не изменяющиеся при гомеоморфных О., изучаются в топологии. Если в множествах А и В имеются некоторые соотношения и если эти соотношения сохраняются при О., то О. называется изоморфным относительно этих соотношений (см. Изоморфизм ).
В математическом анализе большую роль играют О. одного множества функций на другое. Например, дифференцирование может рассматриваться как О., при котором функции f (x ) соответствует функция f ’I (x ). Среди таких О. наиболее простыми являются О., при которых сумма функций переходит в сумму, а при умножении функции на число образ её умножается на то же число. Такие О. называются линейными, их изучают в функциональном анализе . См. также Линейное преобразование , Операторов теория .
В ряде случаев в множествах А и В можно ввести координаты, т. е. задавать каждую точку этих множеств системой чисел (x1 ,..., хп ) и (y1 ,..., уп ). Тогда О. задаётся системой функций ук = fk (x1 ,..., xn ). 1 £ k £ m . В большинстве встречающихся на практике случаев функции f1 , f2 ,..., fm дифференцируемые: тогда О. называется дифференцируемым. Если О. дифференцируемо, m= n и якобиан О. отличен от нуля, то О. взаимно однозначно.
Дифференцируемые О. поверхностей на поверхности изучаются в дифференциальной геометрии. Имеются свойства, общие всем дифференциально-геометрическим О. Например, на поверхности S всегда можно указать такую ортогональную сеть (см. Сети линий ), которой на поверхности S ’ соответствует также ортогональная сеть. Эта теорема имеет важное значение в картографии.
Наиболее важны следующие классы О. поверхностей. Изометрическое отображение, которое характеризуется тем, что всякая дуга, лежащая на S , имеет ту же длину, что и образ этой дуги на S ’. При таких О. сохраняются площади фигур, а также углы между двумя направлениями, выходящими из одной точки (подробнее см. Дифференциальная геометрия
