Фу'нкции мно'жества, функции, сопоставляющие каждому множеству из некоторого класса множеств определённое число. Например, длина отрезка является Ф. м., определённой на классе всех отрезков на прямой (функцией отрезка).
Интеграл 
при заданной интегрируемой функции j (x ) также является функцией отрезка — интервала интегрирования [a, b]. Рассматривают также функции от областей на плоскости или в пространстве. Например, при заданном распределении плотностей масса, заключённая в данной области W, является функцией этой области. Понятие функции области — более гибкий аппарат для описания физических явлений, чем понятие функции точки, т.к. позволяет учитывать случаи, когда плотность физических величин в отдельных точках бесконечна (точечные источники и т.д.). Кроме того, это понятие более отвечает условиям физического эксперимента (при котором наблюдается не функция точки, а среднее от этой функции по некоторой малой области).
Понятие Ф. м. получило развитие в связи с построением теории интеграла Лебега, в которой приходится рассматривать не только функции от областей, но и функции от произвольных измеримых множеств. Одним из первых примеров такой Ф. м. является мера Лебега m(Е ) измеримого множества Е (см. Мера множества ). Эта Ф. м. вполне аддитивна, т. е. мера суммы любой конечной или счётной совокупности непересекающихся измеримых множеств есть сумма мер этих множеств. Наряду с лебеговской мерой множеств рассматривают др. меры, являющиеся неотрицательными вполне аддитивными Ф. м., определёнными на соответствующем классе множеств. Такие Ф. м. встречаются в общей теории интеграла. Ф. м. f (E ) называют абсолютно непрерывной относительно некоторой меры m, если f (E ) = 0 при m(Е ) = 0. Так, интеграл Лебега 
заданной суммируемой функции j (x ) по множеству М является вполне аддитивной абсолютно непрерывной (относительно меры Лебега) функцией от М . Обратно, всякая вполне аддитивная абсолютно непрерывная Ф. м. может быть представлена в качестве интеграла Лебега от некоторой суммируемой функции j(x ). Важным примером Ф. м. являются распределения вероятностей.
Лит.: Колмогоров А. Н., Фомин С. В., Элементы теории функций и функционального анализа, 4 изд., М., 1976; Халмош П., Теория меры, пер. с англ., М., 1953
Фу'нкции специа'льные, см. Специальные функции .
Фу'нкции (от лат. functio — исполнение, совершение) физиологические, осуществление человеком, животными и растительными организмами различных отправлений, обеспечивающих их жизнедеятельность и приспособление к условиям окружающей среды, физиология изучает Ф. организма на молекулярном, клеточном, тканевом, органном и системном уровнях, а также на уровне целостного организма. К числу т. н. системных Ф. животного организма относятся, например, дыхательная, сердечно-сосудистая, пищеварительная, зрительная, слуховая, вестибулярная. Поскольку в основе любой Ф. лежит непрерывно идущий процесс обмена веществ , их исследование предусматривает выяснение происходящих в организме (системе органов, отдельном органе, ткани и т.д.) физических, химических и структурных изменений. В связи с этим существенное значение приобретают работы в области биологии развития , изучающей процессы и движущие силы индивидуального развития организма — онтогенеза .
Важную роль в комплексном изучении Ф. сыграл сравнительно-исторический метод, привнесённый в физиологию И. М. Сеченовым , И. П. Павловым , Н. Е. Введенским . Трудами Л. А. Орбели и его школы было создано оригинальное направление, изучающее физиологические, биохимические и структурные основы эволюции Ф., — эволюционная физиология . В свою очередь исследования эволюции Ф. оказали влияние на изучение изменений Ф., наступающих в организме под влиянием различных факторов природного или искусственного происхождения (изменения климатических условий, двигательной активности, состава и свойств пищи, недостаток или избыток кислорода в воздухе, невесомость и многое др.), а также адаптации организма к условиям внешней среды (см. Экологическая физиология ). Изучение эволюции Ф. и особенно их приспособляемости к окружающей среде неразрывно связано с исследованием механизмов регуляции Ф. (см. Гуморальная регуляция , Гормональная регуляция , Нейро-гуморальная регуляция ). Важный этап в изучении Ф. — созданная К. М. Быковым и его школой концепция о взаимоотношениях коры больших
