) к функциям многих переменных f (x1 ,..., xq ); проективный предел 
банаховых пространств — здесь 
(грубо говоря), если 
для каждого a; индуктивный предел 
банаховых пространств X1 Ì X2 Ì..., здесь 
, если все xj , начиная с некоторого j0 , лежат в одном Xj0 , и в нём 
. Две последние процедуры обычно применяются для построения линейных топологических пространств. Таковы, например, ядерные пространства — проективный предел гильбертовых пространств Н a , обладающих тем свойством, что для каждого a найдётся b такое, что h b Ì Н a , и это — т. н. вложение Гильберта — Шмидта [D (
) — пример ядерного пространства].
Разработан важный раздел Ф, а., в котором изучаются пространства с конической структурой «x 
0» (полуупорядоченностью). Пример такого пространства — действительное С (Т ), в нём считается x 
0, если x (t ³)0 для всех t ÎT .
3. Операторы (общие понятия). Функционалы. Пусть X , Y — линейные пространства; отображение A : X ® Y называется линейным, если для x , у Î X , l, m Î 
,
где x1 ,..., xn и (Ax )1 ,..., (Ax ) n — координаты векторов x и Ax соответственно. При переходе к бесконечномерным линейным топологическим пространствам положение значительно усложняется. Здесь прежде всего необходимо различать непрерывные и разрывные линейные операторы (для конечномерных пространств они всегда непрерывны). Так, действующий из пространства L2 (а , b ) в него же оператор
(2)
(где K (t , s ) — ограниченная функция — ядро А ) — непрерывен, в то время как определённый на подпространстве C1 (a , b ) Ì L2 (a , b ) оператор дифференцирования
(3)
является разрывным (вообще, характерной особенностью разрывных операторов является то, что они не определены на всём пространстве).
Непрерывный оператор A : X ® Y , где X , Y — банаховы пространства, характеризуется тем, что
,
поэтому его называют также ограниченным. Совокупность всех ограниченных операторов 
(X , Y ) относительно обычных алгебраических операций образует банахово пространство с нормой || A ||. Свойства 
, если 
для каждого x
