Большая Советская Энциклопедия (ЦИ)

J_n (x ).

  Ц. ф. порядка n = m  + ¹ /₂ , где m — целое число, сводится к элементарным функциям, например:

,

  Функции J _n (x ) и уравнение (1) называют также по имени Ф. Бесселя (Бесселя функции , Бесселя уравнение ). Однако эти функции и уравнение (1) были получены ещё Л. Эйлером при изучении колебаний мембраны в 1766, т. е. почти за 50 лет до работ Бесселя; функция нулевого порядка встречается ещё раньше в работе Д. Бернулли , посвященной колебанию тяжёлой цепи (опубликована в 1738), а функция порядка ¹ /₃ в письме Я. Бернулли к Г. Лейбницу (1703).

  Если n не является целым числом, то общее решение уравнения (1) имеет вид

y = C₁ J _n (x ) + C₂ J_{- n} (x ),      (2)

где C₁ и C₂   — постоянные. Если же n — целое, то J _n (x ) и J_{- n} (x) линейно зависимы, и их линейная комбинация (2) уже не является общим решением уравнения (1). Поэтому, наряду с Ц. ф. первого рода, вводят ещё Ц. ф. второго рода (называемые также функциями Вебера):

  При помощи этих функций общее решение уравнения (1) может быть записано в виде

у = C₁ J_n (x) + C₂ Y _n (x )

(как при целом, так и при нецелом n).

В приложениях встречается также Ц. ф. мнимого аргумента  

и

(функция Макдональда). Эти функции удовлетворяют уравнению

общее решение которого имеет вид

y = C₁ l _n (x ) + C₂ K _n (x )

(как при целом, так и нецелом n). Часто употребляются ещё Ц. ф. третьего рода (или функции Ганкеля)

,

а также функции Томсона ber (х ) и bei (x ), определяемые соотношением