Лагранжа, продолживших его дело и внесших в механику новые понятия, важные для физики.
В 1803 г. вышел груд Луи Пуансо (1777—1859) «Элементы статики «Пуансо ввел новое динамическое понятие пары сил, изучил свойства пар, сформулировал общий закон сложения сил, действующих на тело, и общие условия равновесия.
В1811 г. вышел «Трактат о механике» Симеона Пуассона (1781—1840). В этом трактате Пуассон развивает и популяризирует традиции Лагранжа, иллюстрируя общие предположения многочисленными примерами. «Трактат» Пуассона долгие годы служил учебным пособием по механике.
Математик Жан Виктор Понселе (1788—1867), бывший солдат наполеоновской армии и русский военнопленный, ввел в механику важное понятие работы. Это понятие фигурирует и в «Трактате о механике твердых тел и о расчете действия машин» (1829.) Гас-пара Гюстава Кориолиса (1792—1843). Кориолис открыл также ускорение, испытываемое движущимися телами во вращающейся системе, и соответствующую силу инерции. Это ускорение ныне известно под названием «кориолисово ускорение», а сила — под названием «сила Кориодиса» (1835).
В 1829 г. вышла работа знаменитого немецкого математика К. ф. Гаусса (1777—1855) «Об одном новом общем принципе динамики». В этом сочинении Гаусс предлагал положить в основу механики вместо принципа наименьшего действия другой, который он формулировал следующими словами: «Движение системы материальных точек, связанных между собою произвольным образом и подверженных любым влияниям, в каждое мгновение происходит в наиболее совершенном, какое только возможно, согласии с тем движением, каким обладали бы эти точки, если бы все они стали свободными, т. е. оно происходит с наименьшим возможным принуждением, если в качестве меры принуждения, примененного в течение бесконечно малого мгновения, принять сумму произведений массы каждой точки на квадрат величины ее отклонения от того положения, которое она заняла бы, если бы была свободной».
Следует отметить, что этой работе предшествовали многолетние геодезические и астрономические исследования Гаусса, в результате которых им был найден метод наименьших квадратов, играющий важную роль в теории ошибок и обработке экспериментальных данных. Сформулированный выше принцип наименьшего принуждения Гаусса близко подходит к методу наименьших квадратов: природа действует таким образом, что сумма квадратов отклонений движения точки от движения, невозмущенного действием сил, является минимальной.
Особенно важную роль вариационный принцип наименьшего действия сыграл в работах У.Р.Гамильтона (1805-1865).
Уильям Роуан Гамильтон ирландский математик и физик. С 1827 г. он был профессором астрономии в Дублинском университете и директором астрономической обсерватории университета.
В 1834 г. Гамильтон выступил с программной статьей «Об общем методе в динамике, посредством которого изучение движений всех свободных систем притягивающихся или отталкивающихся точек сводится к отысканию и дифференцированию одного центрального соотношения или характеристической функции».
Характеризуя развитие механики со времен Ньютона, Гамильтон выделяет учение славянского ученого Руджера Иосипа Бошковича, современника и ровесника Ломоносова, пережившего его более чем на двадцать лет (Бошкович родился 18 мая 1711 г. в Дубровнике, в Далмации, умер 13 февраля 1787 г. в Милане, в Италии. Бошкович в 1760 г., еще при жизни Ломоносова, был избран почетным членом Петербургской Академии наук).
В основном сочинении «Теория натуральной философии, приведенная к единому закону сил, существующих в природе», вышедшем в 1758 г., Бошкович рассматривает мир как совокупность точек (атомов, которые он мыслит как центры сил), взаимодействующих друг с другом с силами, модуль и направление которых меняется с расстоянием так, что притягательные силы переходят в отталкивательные, и наоборот. Гамильтон рассматривает его труд как переворот в механике, сделавший ее «более динамичной и сводящей все связи и действия тел к притяжению или отталкиванию точек».
Именно эту идею Гамильтон кладет в основу своей системы. Но для того чтобы определить движение системы точек, надо интегрировать дифференциальные уравнения второго порядка, «число которых втрое больше числа притягивающихся или отталкивающихся точек».
Естественно, что с увеличением числа точек эта задача необычайно усложняется, и для десяти точек, например, надо интегрировать тридцать дифференциальных уравнений второго поря дка. Гамильтон предлагает метод, в котором «задача сводится к отысканию и дифференцированию одной-един-ственной функции, удовлетворяющей двум уравнениям в частных производных первого порядка и второй степени». Эту функцию Гамильтон называет характеристической, она определяется интегралом
где 2Т - «полная живая сила» сумма произведений масс частиц на квадраты их скоростей. Она связана с введенной Гамильтоном функцией Н, определяемой законом живой силы Т = U + Н, уравнением
Соотношение Т = U + Н, где U - силовая функция, сейчас записывают в виде: H=T+U,
где U - потенциальная энергия, отличающаяся от силовой функции U Гамильтона знаком.
Во второй статье — «Второй очерк об общем методе в динамике», опубликованной в 1835 г., Гамильтон вводит вместо характеристической функции V главную функцию S. Он применяет свою знаменитую систему канонических уравнений, которая в современной форме, в случае консервативных сил, имеет вид:
Число этих уравнений n (i = 1, 2, ., ., n) равно числу степеней свободы системы. Главная функция S вводится уравнением:
Она сейчас носит название «действия», и канонические уравнения получаются из принципа наименьшего действия.
Работам Гамильтона по динамике предшествовали его работы по оптике лучей, написанные им в период 1827— 1832 гг., под общим названием «Теория систем лучей». Гамильтону принадлежит заслуга в установлении оптико-механической аналогии, сыгравшей важную роль в истории создания волновой механики Шредингера.
Метод Гамильтона в динамике был разработан и развит в «Л екциях по динамике» Карла ГуставаЯкоби (1804—1851). Якоби был родным братом русского академика Бориса Семеновича Якоби и сам был почетным членом Петербургской Академии наук.
Теория Гамильтона—Якоби получила широкое применение в XX в. в решении задач атомной механики. Оператор Гамильтона, или «гамильтониан», является одним из основных операторов современной квантовой механики, и таким образом полузабытая физиками теория механики и оптики обрела новую жизнь в нашем столетии.
Развитие волновой оптики в первой половине XIX столетия
Факты из истории оптики начала XIX столетия показывают, как трудно раскрыть закономерности развития науки, которое происходит не путем последовательной и плавной эволюции, а сплошь и рядом испытывает неожиданные скачки и потороты. Успехи ньютоновской механики XVIII в. оказали огромное влияние на все области физики, в том числе и на оптику. Несмотря на поддержку теории Гюйгенса Ломоносовым и защиту волновой теории света Эйлером, победа корпускулярной теории была бесспорной, а самый принцип Гюйгенса был забыт.
Что касается открытых еще в XVII в. явлений дифракции и интерференции, то ведущие ученые конца XVIII — начала XIX в. не сомневались в том, что они получат исчерпывающее объяснение в терминах корпускулярной теории. Не удивительно, что гениальные исследования Юнга по интерференции и дифракции света были встречены с недоверием и даже с насмешкой, поскольку в них эти явления объяснялись с точки зрения волновой теории. Вскоре эти исследования получили мощную поддержку в работах Френеля, и волновая теория, несмотря на оппозицию ведущих ученых и необычайные трудности,
