Хотя приведённые выше высказывания о роли звёздного неба в духовной культуре человека и не содержат прямого заявления о включении в эту культуру сведений об устройстве небесного свода, косвенно такое включение происходит. Неотъемлемой частью цивилизации является то или иное представление об указанном устройстве — хотя бы признаваемое в наши дни совершенно фантастическим, как, например, такое: “А Земля — это только лишь плесень в перевёрнутой неба корзине; звёзды — это свет другого мира, к нам просвечивающий сквозь дно корзины, сквозь бесчисленные маленькие дыры, не затёртые небесной глиной”. Человек, вовсе не имеющий представлений об устройстве мироздания, признаётся окружающими выпадающим из культуры. Вспомним изумление доктора Ватсона, обнаружившего вскоре после вселения в знаменитый дом 221b по Бейкер-стрит, что Холмс не знал, что Земля вертится вокруг Солнца. И даже считал знать это совершенно излишним. “Ну хорошо, пусть, как вы говорите, мы вращаемся вокруг Солнца, — возражал Холмс. — А если бы я узнал, что мы вращаемся вокруг Луны, много бы это помогло мне или моей работе?” Вот здесь очень важный момент. Холмс признаёт нужным знать только то, что может быть использовано в практических целях. Ватсон считает — и, очевидно, исходит из того, что читатели его записок разделяют эту его точку зрения, — что некоторые знания являются обязательными независимо от их практического применения. При всём уважении к великому сыщику, согласимся с доктором.
Итак, есть определённый объём непрактических знаний, обязательный для всякого культурного человека (несмотря на известное дурновкусие выражения “культурный человек”, в целях ясности изложения приходится его употреблять). Мы полагаем, что в этот объём входят и некоторые из тех математических представлений, которые не связаны с утилитарным использованием математики. Указанные представления состоят не только из фактов, но и из понятий и методов оперирования с этими понятиями.
Роль математики в современной материальной культуре, а также роль её элементарных разделов в повседневном быту достаточно известны, и об этом можно позволить себе не говорить. В этом очерке мы собираемся говорить о математике как о части культуры духовной.
Математические идеи могут вызывать эмоции, сравнимые с эмоциями, возникающими при чтении литературных произведений, слушании музыки, созерцании архитектуры. К сожалению, закостеневшие способы преподавания математики редко позволяют ощутить её эстетическую сторону, доступную, хотя бы частично, отнюдь не только математикам. Математиками же эта сторона ощущается с полной ясностью. Вот что писал выдающийся математик, учитель великого Колмогорова, Николай Николаевич Лузин (1883 — 1950): “Математики изумляются гармонии чисел и геометрических форм. Они приходят в трепет, когда новое открытие открывает им неожиданные перспективы. И та радость, которую они переживают, разве это не есть радость эстетического порядка, хотя обычные чувства зрения и слуха здесь не участвуют. <...> Математик изучает свою науку вовсе не потому, что она полезна. Он изучает её потому, что она прекрасна. <...> Я говорю о красоте более глубокой, [чем та, которая поражает наши чувства,] проистекающей из гармонии и согласованности воедино всех частей, которую один лишь чистый интеллект и сможет оценить. Именно эта гармония и даёт основу тем красочным видимостям, в которых купаются наши чувства. <...> Нужно ли ещё прибавлять, что в развитии этого чувства интеллектуальной красоты лежит залог всякого прогресса?”
Являясь (через Колмогорова) научным внуком Лузина, автор настоящего очерка с сочувствием относится к формуле “математика для математики”, образованной по аналогии с известным слоганом “искусство для искусства”. Однако всё не так просто. Следует огорчить любителей чистого разума и утешить сторонников практической пользы. Опыт развития математики убеждает, что самые, казалось бы, оторванные от практики её разделы рано или поздно находят важные применения. Всю первую половину XX века математическая логика рассматривалась как наука, занятая исключительно проблемами логического обоснования математики, как своего рода философский анклав в математике; в СССР она находилась под подозрением со стороны борцов со всевозможными “измами”, и первая кафедра математической логики была открыта лишь в 1959 году. Сегодня математическая логика переплетена с теоретической информатикой (Theoretical Computer Science) и служит для последней фундаментом. Теория чисел, одна из древнейших математических теорий, долгое время считалась чем-то вроде игры в бисер. Оказалось, что без этой теории немыслима современная криптография, как и другие важные направления, объединённые названием “защита информации”. Специалисты по теоретической физике интересуются новейшими разработками алгебраической геометрии и даже такой абстрактной области, как теория категорий.
Применение математики в физике не ограничивается числовыми формулами и уравнениями. Её, математики, абстрактные конструкции позволяют лучше понять природу тех физических явлений, изучение которых находится на передовом крае науки. Поясним сказанное с помощью исторической аналогии. Когда-то считали, что Земля плоская. Ничего другого в то время просто не могло прийти в голову. Затем пришли к мысли о её шарообразности. Вряд ли сама эта мысль была бы возможна, не обладай человеческое сознание уже готовым представлением о шаре. Точно так же долгое время считалось очевидным, что окружающее нас физическое пространство есть самое обычное трёхмерное евклидово пространство из школьного курса геометрии. В этом были уверены все, включая тех, кто не знал учёной терминологии и потому не пользовался термином “евклидово пространство” (вспомним мольеровского Журдена, не знавшего, что говорит прозой). И действительно, а как же может быть иначе? Первые сомнения возникли в XIX веке независимо в Германии у Гаусса и в России у Лобачевского. Они первыми осознали не только существование неевклидовой геометрии как математического объекта, но и возможность неевклидового строения нашего мира (мы коснёмся этой темы в главе 8). Лобачевского тогда никто не понял, кроме Гаусса, сам же Гаусс, предчувствуя непонимание, ни с кем не делился своим прозрением. Теория относительности подтвердила указанную неевклидовость, предсказав прогибание пространства под воздействием массивных тел, что, в свою очередь, было подтверждено наблюдаемым искривлением луча света вблизи таких тел. Некоторые свойства пространства и времени оказались парадоксальными, другие остаются неизвестными. Вместе с тем познание этих свойств может оказаться жизненно важным для человечества. Математика предлагает уже готовые модели, позволяющие лучше понять эти свойства, в особенности же свойства парадоксальные, противоречащие повседневному опыту. Более точно, в математике построены такие структуры, которые обладают требуемыми свойствами.
Здесь мы прикоснулись к важной философской, а именно гносеологической, теме. Только что упомянутое представление о шаре, столь необходимое для осознания фигуры Земли, находило поддержку в повседневном опыте — а именно в наблюдении шарообразных предметов, как природных (яблок, тыкв, ягод, катимых скарабеями навозных шариков и т. п.), так и искусственных (например, пушечных ядер). И когда потребовалось узнать фигуру Земли, оставалось лишь воспользоваться названным представлением. Иначе обстоит дело с попытками познания строения Вселенной. Повседневный опыт не даёт требуемых геометрических форм. Оказалось, однако, что хотя такими формами и не обладают предметы, доступные непосредственному созерцанию, эти формы представлены в уже обнаруженных структурах математики. Поскольку эти математические структуры точно описаны, нетрудно, при желании, понять, как в них реализуются свойства мироздания — даже те, которые кажутся парадоксальными. А тогда остаётся допустить, что геометрия реального мира хотя бы отчасти выглядит так, как геометрия этих структур. Таким образом, математика, не давая ответ на вопрос, как оно есть в реальном мире, помогает понять, как оно
