Живой кристалл

Результат предельно прост:

X²_n = па².

Он означает, что если величину смещения X каждого из атомов после п скачков на одинаковое расстояние а возвести в квадрат, а затем вычислить среднюю величину этих квадратов X²_n, то окажется, что она пропорциональна числу скачков.

Слово «скачок» появилось потому, что от такси мы уже перешли к атомам. Так как время ожидания очередного скачка ? (или время «оседлой жизни») в среднем постоянно и за время t атом совершит п = t/? скачков, приведенное уравнение можно переписать в другом виде:

   

Если теперь опять от атомов перейти к такси, то полученный результат означает, что среднее расстояние между многими такси и таксомоторным парком, из которого они вышли одновременно, со временем изменяется по закону ? t^1/2 . Последнюю формулу удобно переписать в другом виде:

X²_n=Dt< /p>

Величина D = а²/? называется коэффициентом самодиффузии.

При строгом расчете, когда учитываются все шесть возможных перемещений атома (вперед и назад вдоль каждого из трех направлений в пространстве), оказывается, что D = а²/6?.

А теперь модельный эксперимент «блуждающие точки». Заставьте хаотически блуждать 10 точек, потребовав, чтобы каждая из них двигалась вдоль прямой: когда брошенная монета падает «орлом» — шаг вправо (например, сантиметровый), «решеткой» — такой же шаг влево. После того как все точки сделают одинаковое число шагов, надо величину смещения (в сантиметрах) каждой из них возвести в квадрат, эти квадраты просуммировать и разделить на число точек, т. е. на 10. Так будет найдена величина X²_n. Затем такой подсчет надо повторить при нескольких других значениях числа шагов, вплоть до п = 100. Построив график зависимости X²_n от п, мы убедимся, что, как это и предсказывает формула, которую мы записали, поверив в ее справедливость, X²_n линейно увеличивается с ростом п. Такой эксперимент мы сделали, и его результаты изобразили на рисунках. Ушло на это два часа, трудились вдвоем, я бросал монету, товарищ вел записи, затем мы построили график зависимости X²_n от п.

Хотелось бы в координатах X²_n и п получить прямую, согласно формуле именно прямая и должна быть. На нашем графике точки, не ложась точно на прямую, рассыпаны вблизи нее. Это естественно, так как слишком мало точек и шагов, слишком мала статистика для того, чтобы вероятностные законы обрели точность. Однако и в нашем опыте (всего 10 точек, каждая по 100 шагов) закон X²_n ~ п себя проявил.

Итак, оказывается хаос — не хаос! В нем скрыты строгие закономерности, которые себя отчетливо проявляют в процессе хаотических блужданий атомов в кристалле — тем отчетливее, чем больше атомов и чем большее число неупорядоченных скачков совершает каждый из них.

Нам, вглядывающимся в непременные признаки жизни кристалла, конечно же, следует познакомиться с количественными характеристиками того процесса, который мы называем «обычная классическая самодиффузия» или «бесцельное блуждание атомов в кристалле». Будем говорить главным образом о вакансиях, твердо помня при этом, как взаимообусловлены перемещения вакансий и атомов.

Совокупность вакансий в кристалле может быть уподоблена идеальному газу. Аналогия между газом реальных молекул или атомов и газом «атомов пустоты» имеет вполне разумные основания. Подобно молекулам идеального газа, вакансии в кристаллической решетке находятся друг от друга на значительных расстояниях и поэтому практически между собой не взаимодействуют. Иногда они сталкиваются, после чего уходят в разные стороны.

Для того чтобы пользоваться этой аналогией, следует убедиться, что, подобно идеальному газу, газ вакансий разрежен. Это основное условие, которому должен удовлетворять идеальный газ. Оценим среднее расстояние между вакансиями l_? . Если в единице объема находится п_? вакансий, то

т. е. вакансии в среднем удалены друг от друга на двадцать межатомных расстояний. Приблизительно на таком же расстоянии друг от друга находятся молекулы в воздухе при атмосферном давлении. С понижением температуры концентрация вакансий с_? быстро уменьшается, среднее расстояние между ними l_? увеличивается, газ вакансий становится еще более разреженным, а это означает, что основное условие идеальности оказывается выполненным.

Итак, совокупность вакансий — разреженный газ. Однако частицы этого газа движутся не в свободном пространстве, а в кристаллической решетке, и это определяет характер их движения. Между двумя столкновениями они движутся не по прямой, а по очень запутанной ломаной линии, состоящей из прямолинейных отрезков — они определяются расстояниями между соседними позициями в кристаллической решетке, которые зависят от ее структуры.

Обсудим характеристики газа вакансий в каком-нибудь определенном кристалле, например в золоте, имеющем следующие характеристики: решетка кубическая, расстояние между двумя позициями, где могут находиться атомы, а ? 3 • 10^-8 см, температура плавления 1336 К. Период тепловых колебаний атома в узле решетки ?₀ ? 10^-13 с. Допустим, что температура кристалла Т = 1330 К, т. е. на 6 К ниже точки плавления, и проследим при этой температуре судьбу вакансии. Ее состояние характеризуется следующими цифрами: