было равняться примерно одному миллиметру). Когда проходило определенное время, шарик разгонялся и преодолевал расстояние в 130 то — чек, а в конце третьего интервала — 298 точек. Затем 526,
Использованные им единицы времени значения не имеют. Мы можем их назвать, например, тиками. Главное — то, что все интервалы были одинаковыми:
Поначалу никакой закономерности тут не видно. С каждым тиком шарик преодолевал все большее расстояние, но по какому правилу? Галилей начал играть числами. Может быть, скорость увеличивалась по закону арифметической прогрессии и стоит выписать ряд нечетных чисел: 1, 5, 9, 13, 17, 21…? На втором тике шарик будет двигаться в пять раз быстрее, чем на первом, преодолевая 5 х 33 или 165 точек. Число слишком большое, но может лежать в пределах погрешности эксперимента. Расстояние, преодолеваемое за третий тик, будет уже в девять раз больше: 33 х 9 = 297 точек. Полное совпадение! За четвертый тик шарик пройдет 13 х 33 = 429. Слишком мало… Дрейк видел, как на странице манускрипта Галилей зачеркивает числа и начинает вычисления снова.
За первый тик шарик преодолевает 33 точки, затем 130. А что, если эти числа поделить? 130: зз = 3,9. Расстояние увеличилось почти в четыре раза. За третий тик расстояние увеличилось почти в девять раз по отношению к первоначальному: 298/33. Тогда получается ряд 15,9; 25,0; 36,1; 49,1; 63,8. Он округлил числа и записал их, используя другие чернила и перо, в столбец: 4,9,16, 25,36,49,64.
Он нашел ключ: с небольшой погрешностью можно было утверждать, что пройденное расстояние увеличивалось пропорционально квадрату времени. Если плоскость удлинить, то можно с уверенностью рассчитать, что для следующего тика коэффициент будет равен 81 (9*), а потом последуют 100, 121, 144, 169 и т. д.
В этих расчетах расстояние суммируется: за четыре тика шарик пройдет расстояние в 16 раз больше, чем он прошел к концу первого тика. Но какое расстояние проходит шарик за каждый отдельный отрезок времени и насколько расстояние между третьим и четвертым тиком будет больше расстояния, пройденного между вторым и третьим тиком? Ответ можно найти, используя арифметические методы.
Свойство квадратов таково, что они равняются сумме предшествующих им нечетных чисел: 4 = 1 +3; 9 = 1 + 3 +5; 16 = 1 + 3 + 5 +7. Из закона квадрата времени следует, что расстояние между тиками должно увеличиваться как прогрессия нечетных чисел. Данные Галилео показывают, как это происходит.
От тика к тику шарик преодолевает сначала три первых расстояния, потом пять первых расстояний, потом — девять. По сути, Галилей мог взять прогрессию нечетных чисел и получить отношение, равное квадрату времени. Но как бы он к этому выводу ни пришел, результатом его исследований стало открытие нового фундаментального закона. Чем круче наклонная, тем быстрее будет двигаться шарик, придерживаясь тем не менее одного и того же закона, который, вероятно, должен соблюдаться даже тоща, когда наклон достигнет 90°, т. е. шарик начнет падать вниз по прямой.
При другом крайнем случае, когда угол наклона равен нулю, ускорения движения не произойдет. Как только шарик, скатывающийся по наклонной' плоскости, достигнет плоскости стола, он будет двигаться равномерно сколь угодно долго, если плоскость будет бесконечной, а трение отсутствовать. Но что произойдет, когда шарик достигнет края стола и начнет падать? Галилей дает ответ на этот вопрос в книге «Беседы и математические доказательства, касающиеся двух новых отраслей науки»: не ускоряющееся горизонтальное движение и ускоряющееся вниз вертикальное движение объединяются и дают траекторию, имеющую форму параболы.
Пока непонятно, как Галилею удалось так точно измерить отрезки времени продолжительностью менее 1 секунды. Используя горшок для цветов и водяные часы, студент-выпускник Корнельского университета Томас Б. Сеттл пускал бильярдные шары по наклонной сосновой доске и сумел доказать справедливость закона квадрата времени. Однако он, как и Дрейк, сомневался в том, что при полном неведении можно было обнаружить эту зависимость с помощью такого примитивного инструментария. Дрейк посчитал, что метод Галилея был более совершенным и удивительным.
Он понял, что Галилею было не обязательно считать время так, как это делается сегодня, т. е. в секундах, полусекундах или в любых других удобных для него единицах. Нужно было лишь разделить время на равные отрезки, а это — талант, присущий любому хорошему музыканту.
«Дирижер оркестра взмахами дирижерской палочки отмеряет время с достаточно высокой точностью в течение продолжительного периода, не думая при этом ни о секундах, ни о других стандартных единицах, — писал Дрейк. — Он задает определенную периодичность, подчиняясь внутреннему ритму, причем может делить интервалы надвое не один раз с точностью, завидной для любого механического инструмента». Так же поступают и музыканты, и даже слушатели. «Если ударник позволит себе вступить в оркестре с опозданием всего на некоторую долю секунду, скажем, на 1/64 музыкального размера, то это заметят многие, и не только дирижер».
«Поэтому, — рассуждал Дрейк, — Галилей так и поступал: прежде чем пустить шарик по наклонной плоскости, он мог задавать ритм, исполняя простую мелодию*. Дрейк использовал в эксперименте гимн «Вперед, Христово воинство!» с темпом примерно два удара в секунду. Отпустив шарик на самом верху наклонной плоскости, он мелом отмечал положение шарика при каждом ударе.
Дрейку, как, наверное, и Галилею, в первый раз не удалось отмерить расстояния, но впоследствии он делал это с точностью примерно до полусекунды, отмечая, что расстояние, пройденное за одинаковые отрезки времени, увеличивается и что шарик катится вниз, ускоряясь, по определенному закону.
Теперь нужно было на каждой сделанной мелом отметке прикрепить кусок струны, наподобие передвижных ладов на лютне, на которой Галилей любил поиграть в свободное время. Дрейк для этой цели использовал резиновую ленту. Раз за разом скатывая шарик, Дрейк прислушивался к тому, когда тот ударяет по струнам, и менял положение струн таким образом, чтобы ритм ударов был одинаков, как у метронома, и в такт напеваемому маршу. Когда у него все получилось, положения струн точно показывали, какое расстояние удалось преодолеть шарику за каждый отрезок времени. Теперь осталось только измерить пройденное расстояние обычной линейкой.
Дрейк считал, что после того, как Галилею удалось установить закон, другим он показывал уже не сам эксперимент, а его упрощенный вариант, заранее разметив путь шарика на отрезки 1, 4, 9,16, 25, 49, 64 и используя водяные часы для обеспечения хронометража. Но это была уже демонстрация, а не эксперимент.
Почему Галилей не написал о своем первоначальном методе? Дрейк позволил себе предположить, что Галилео просто боялся показаться смешным: «Даже в те дни нельзя было заявить, не прослыв глупцом, что ты открыл закон, напевая песенку в то время, когда шарик катился по наклонной плоскости, причем справедливость закона удалось подтвердить довольно точно». Сегодня, спустя более трехсот лет со дня смерти Галилея, посетители Музея истории науки во Флоренции могут увидеть высохший палец, который поднимал шарик каждый раз, когда тот достигал конца наклонной плоскости и возвращал его в исходное положение для следующего спуска. Этот палец, зуб, пятый поясничный позвонок и еще два пальца сохранил один из поклонников Галилея, когда тело великого итальянца эксгумировали — через сто лет после захоронения, — дабы перенести на более почетное место. Хранящийся потомками как мощи святого в раке, этот длинный тонкий палец указывает вверх — так, словно приманивает к себе небо…
