Веселые задачи. Две сотни головоломок

параллелограмм, высота которого АВ = 11/2 спички. Площадь параллелограмма по правилам геометрии равна его основанию, умноженному на высоте: 4 × 11/2 = 6, т. е. втрое больше площади верхнего четырехугольника.

Рис. 119.

Рис. 120.

Рис. 121.

Рис. 122.

Рис. 123.

Рис. 124.

119 —120. Решения задач 119 и 120 наглядно показаны на рис. 123 и 124.

Вес и взвешивание

121. Вес бревна

Круглое бревно весит 30 кг. Сколько весит бревно, если оно вдвое толще, но вдвое короче нашего?

122. Десятичные весы

Сто килограммов железных гвоздей уравновешены на десятичных весах железными гирями. Весы затопило водой.

Сохранили ли они равновесие под водой?

123. Вес бутылки

Бутылка, наполненная керосином, весит 1000 г. Та же бутылка, наполненная кислотой, весит 1600 г. Кислота вдвое тяжелее керосина.

Сколько весит бутылка?

Рис. 125. Сколько весит брусок мыла?

124. Брусок мыла

На одну чашку весов положен брусок мыла, на другую – 3/4 такого же бруска и гиря в 3/4 килограмма. Весы в равновесии.

Сколько весит целый брусок мыла? Постарайтесь решить эту несложную задачу устно, без карандаша и бумаги.

125. Кошки и котята

Четыре кошки и 3 котенка весят 15 кг, а 3 кошки и 4 котенка весят 13 кг.

Сколько весит каждая кошка и каждый котенок в отдельности?

Постарайтесь и эту задачу решить устно.

Рис. 126.

126. Раковина и бусины

Три детских кубика и 1 раковина уравновешиваются 12 бусинами (рис. 127), 1 раковина весит столько же, сколько 1 кубик и 8 бусинок (рис. 128).

Рис. 127.

Рис. 128.

Сколько бусин нужно положить на свободную чашку весов, чтобы уравновесить раковину на другой чашке?

127. Вес фруктов

Вот еще задача в этом роде. Рис. 129 показывает, что 3 яблочка и 1 груша весят столько же, сколько 10 персиков, а 6 персиков и 1 яблочко – столько же, сколько 1 груша.

Рис. 129.

Сколько персиков надо взять, чтобы уравновесить одну грушу?

128. Сколько стаканов?

На рис. 130 и 131 вы видите, что:

– бутылка и стакан уравновешиваются кувшином;

– бутылка сама по себе уравновешивается стаканом и блюдцем;

– два кувшина уравновешиваются тремя блюдцами. Сколько надо поставить стаканов на свободную чашку весов, чтобы уравновесить бутылку?

129. Гирей и молотом

Надо развесить 2 кг сахарного песку на 200- граммовые пакеты. Имеется только одна 500-граммовая гиря, да еще молоток, весящий 900 г.

Как получить все 10 пакетов, пользуясь этой гирей и молотком?

130. Задача Архимеда

Самая древняя из головоломок, относящихся к взвешиванию, без сомнения, та, которую древний правитель сиракузский Гиерон задал знаменитому математику Архимеду.

Рис. 130. Задача о стаканах и бутылке.

Рис. 131. Чем уравновесить бутылку?

Рис. 132. Затруднение при развешивании.

Предание повествует, что Гиерон поручил мастеру изготовить венец для одной статуи и приказал выдать ему необходимое количество золота и серебра. Когда венец был доставлен, взвешивание показало, что он весит столько же, сколько весили вместе выданные золото и серебро. Однако правителю донесли, что мастер утаил часть золота, заменив его серебром. Гиерон призвал Архимеда и предложил ему определить, сколько золота и сколько серебра заключает изготовленная мастером корона. Архимед решил эту задачу, исходя из того, что чистое золото теряет в воде 20-ю долю своего веса, а серебро – 10-ю.

Если вы желаете испытать свои силы на подобной задаче, примите, что мастеру было отпущено 8 кг золота и 2 кг серебра и что, когда Архимед взвесил корону под водой, она весила не 10, а всего 91/4 кг. Попробуйте определить по этим данным, сколько золота утаил мастер. Венец был изготовлен из сплошного металла, без пустот.

Решения задач 121-130

121. Обычно отвечают, что бревно вдвое более толстое, но вдвое более короткое, не должно изменить своего веса. Однако это неверно. От увеличения поперечника вдвое объем круглого бревна увеличивается вчетверо; от укорочения же вдвое объем уменьшается всего в два раза. Поэтому толстое короткое бревно должно быть вдвое тяжелее длинного тонкого, т. е. весить 60 кг.

122. При погружении в воду железная вещь (сплошная) теряет 8-ю долю своего веса [7] . Поэтому и гири, и гвозди под водой будут иметь 7/8 своего прежнего веса. И так как гири в 10 раз легче гвоздей, то и под водой они будут легче их в 10 раз. Следовательно, десятичные весы останутся и под водой в равновесии.

123. Из условия задачи мы знаем, что вес бутылки + вес керосина = 1000 г.

А так как кислота вдвое тяжелее керосина, то вес бутылки + двойной вес керосина = 1600 г.

Отсюда ясно, что разница в весе: 1600–1000, т. е. 600 г, есть вес керосина, налитого в бутылку. Но бутылка вместе с керосином весит 1000 г; значит, бутылка весит 1000 – 600 = 400 г.

Действительно, вес кислоты (1600 – 400 = 1200 г) оказывается вдвое больше веса керосина.

124. Три четверти бруска мыла плюс гиря в 3/4 килограмма весят столько же, сколько целый брусок. Но целый брусок – это 3/4 бруска плюс 1/4 бруска. Значит, 1/4 бруска весит 1/ 4 кг. И следовательно, целый брусок весит в четыре раза больше, чем 3/4 кг, т. е. 3 кг.

125. Сравнивая оба взвешивания, легко увидеть, что от замены одной кошки одним котенком вес груза уменьшился на 15–13, т. е. на 2 кг. Отсюда следует, что кошка тяжелее котенка на 2 кг. Зная это, заменим при первом взвешивании всех четырех кошек котятами: у нас будет тогда 4 + 3 = 7, а стрелка весов, вместо 15 кг, покажет на 2 × 4, т. е. на 8 кг меньше. Значит, 7 котят весят 15 – 8 = 7 кг.

Отсюда ясно, что котенок весит 1 кг, взрослая же кошка

1 + 2 = 3 кг.

Рис. 133.

126. Сравните первое и второе взвешивания. Вы видите, что раковину при первом взвешивании можно заменить 1 кубиком и 8 бусинами, потому что они имеют одинаковый вес. После такой замены у нас окажется на левой чашке 4 кубика и 8 бусин, которые будут уравновешиваться 12 бусинами. Сняв теперь с каждой чашки по 8 бусин, мы не нарушим равновесия; останется же у нас на левой чашке 4 кубика, на правой – 4 бусины. Значит, кубик и бусина весят одинаково.

Теперь определим, сколько бусин весит раковина: заменив (второе взвешивание) на правой чашке кубик бусиной, узнаем, что вес раковины = весу 9 бусин.

Полученный результат легко проверить: замените при первом взвешивании кубики и раковины на левой чашке соответственным числом бусин – получите 3 + 9 = 12 бусин, как и должно быть.

127. Заменим при первом взвешивании 1 грушу на 6 персиков и 1 яблочко: мы вправе это сделать, так как груша весит столько же, сколько 6 персиков и яблочко. У нас окажется на левой чашке 4 яблочка и 6 персиков, на правой – 10 персиков. Сняв с обеих чашек по 6 персиков, узнаем, что 4 яблочка весят столько, сколько весят 4 персика. Другими словами, один персик весит столько же, сколько одно яблочко. Теперь уже легко сообразить, что вес груши равен весу 7 персиков.

128. Эту задачу можно решить по-разному. Вот один из способов.

Заменим при третьем взвешивании каждый кувшин 1 бутылкой и 1 стаканом (из первого взвешивания следует, что весы при этом останутся в равновесии). Таким образом, 2 бутылки и 2 стакана уравновешиваются 3 блюдцами. На основании второго взвешивания, каждую бутылку мы можем заменить 1 стаканом и 1 блюдцем. Получив, что 4 стакана и 2 блюдца уравновешиваются 3 блюдцами.

Сняв с каждой чашки весов по 2 блюдца, узнаем, что 4 стакана уравновешиваются 1 блюдцем.

И следовательно, бутылка уравновешивается (сравни со вторым взвешиванием) 5 стаканами.

129. Порядок отвешивания таков. На одну чашку кладут молоток, на другую – гирю и столько же сахарного песка, чтобы чашки уравновесились; ясно, что насыпанный на вторую чашку песок весит 900–500 = 400 г. Эту операцию выполняют еще три раза; остаток песка весит 2000 – (4 × 400) = 400 г. Теперь нужно содержимое каждого из пяти полученных 400-граммовых пакетов разделить пополам, на два равных по весу пакета. Делается это без гирь, очень просто: содержимое 400-граммового пакета рассыпают в два блюдца, поставленные на разные чашки, до тех пор, пока весы не уравновесятся.

130. Если бы заказанный венец был сделан из чистого золота, он весил бы вне воды 100 кг, а под водой терял 20-ю долю этого веса, т. е. полкилограмма. В действительности же венец,