3.4.6. Метод согласования кластеризованных ранжировок
Проблема состоит в выделении общего нестрогого порядка из набора кластеризованных ранжировок (на статистическом языке – ранжировок со связями). Этот набор может отражать мнения нескольких экспертов или быть получен при обработке мнений экспертов различными методами. Предлагается метод согласования кластеризованных ранжировок, позволяющий «загнать» противоречия внутрь специальным образом построенных кластеров (групп), в то время как упорядочение кластеров соответствует всем исходным упорядочениям. В различных прикладных областях возникает необходимость анализа нескольких кластеризованных ранжировок объектов. К таким областям относятся прежде всего инженерный бизнес, менеджмент, экономика, социология, экология, прогнозирование, научные и технические исследования и т. д., особенно те их разделы, что связаны с экспертными оценками. В качестве объектов могут выступать образцы продукции, технологии, математические модели, проекты, кандидаты на должность и др. Кластеризованные ранжировки могут быть получены как с помощью экспертов, так и объективным путем, например, при сопоставлении математических моделей с экспериментальными данными с помощью того или иного критерия качества. Описанный ниже метод был разработан в связи с проблемами химической безопасности биосферы и экологического страхования.
Рассмотрим метод построения кластеризованной ранжировки, согласованной (в раскрытом ниже смысле) со всеми рассматриваемыми кластеризованными ранжировками. При этом противоречия между отдельными исходными ранжировками оказываются заключенными внутри кластеров согласованной ранжировки. В результате упорядоченность кластеров отражает общее мнение экспертов, точнее, то общее, что содержится в исходных ранжировках.
В кластеры заключены объекты, по поводу которых некоторые из исходных ранжировок противоречат друг другу. Для их упорядочения необходимо провести новые исследования. Эти исследования могут быть как формально—математическими (например, вычисление медианы Кемени, упорядочения по средним рангам или по медианам и т. п.), так и требовать привлечения новой информации из соответствующей прикладной области, возможно, проведения дополнительных научных или прикладных работ.
Введем необходимые понятия, затем сформулируем алгоритм согласования кластеризованных ранжировок в общем виде и рассмотрим его свойства.
Пусть имеется конечное число объектов, которые мы для простоты изложения будем изображать натуральными числами 1,2,3,…,k и называть «носителем». Под кластеризованной ранжировкой, определенной на заданном носителе, понимаем следующую математическую конструкцию . Пусть объекты разбиты на группы, которые будем называть кластерами. В кластере может быть и один элемент. Входящие в один кластер объекты будем заключать в фигурные скобки. Например, объекты 1,2,3,…,10 могут быть разбиты на 7 кластеров: {1}, {2,3}, {4}, {5,6,7}, {8}, {9}, {10}. В этом разбиении один кластер {5,6,7} содержит три элемента, другой – {2,3} – два, остальные пять – по одному элементу. Кластеры не имеют общих элементов, а объединение их (как множеств) есть все рассматриваемое множество объектов.
Вторая составляющая кластеризованной ранжировки – это строгий линейный порядок между кластерами . Задано, какой из них первый, какой второй, и т. д. Будем изображать упорядоченность с помощью знака <. При этом кластеры, состоящие из одного элемента, будем для простоты изображать без фигурных скобок. Тогда кластеризованную ранжировку на основе введенных выше кластеров можно изобразить так: А = [1 < {2,3} < 4 < {5,6,7} < 8 < 9 < 10]. Конкретные кластеризованные ранжировки будем заключать в квадратные скобки. Если для простоты речи термин «кластер» применять только к кластеру не менее чем из 2–х элементов, то можно сказать, что в кластеризованную ранжировку А входят два кластера {2,3} и {5,6,7} и 5 отдельных элементов.
Введенная описанным образом кластеризованная ранжировка является бинарным отношением на множестве {1,2,3,…,10}. Его структура такова. Задано отношение эквивалентности с 7–ю классами эквивалентности, а именно, {2,3}, {5,6,7}, а остальные состоят из оставшихся 5 отдельных элементов. Затем введен строгий линейный порядок между классами эквивалентности. Введенный математический объект известен в литературе как «ранжировка со связями» (М. Холлендер, Д.Вулф), «упорядочение» (Дж. Кемени, Дж. Снелл), «квазисерия» (Б.Г.Миркин), «совершенный квазипорядок» (Ю.А. Шрейдер). Учитывая разнобой в терминологии, мы ввели термин «кластеризованная ранжировка», поскольку в нем явным образом названы основные элементы изучаемого математического объекта – кластеры, рассматриваемые на этапе согласования ранжировок как классы эквивалентности, и ранжировка – строгий совершенный порядок между ними.
Следующее важное понятие – противоречивость . Оно определяется для четверки – две кластеризованные ранжировки на одном и том же носителе и два различных объекта – элементы того же носителя. При этом два элемента из одного кластера будем связывать символом равенства =, как эквивалентные.
Пусть А и В – две кластеризованные ранжировки. Пару объектов (a,b) назовем «противоречивой» относительно А и В, если эти два элемента по—разному упорядочены в А и В, т. е. a < b в А и a > b в В (первый вариант противоречивости) либо a >b в А и a < b в В (второй вариант противоречивости). Отметим, что в соответствии с этим определением пара объектов (a,b), эквивалентная хотя бы в одной кластеризованной ранжировке, не может быть противоречивой: a = b не образует «противоречия» ни с a < b , ни с a > b.
В качестве примера рассмотрим две кластеризованные ранжировки В = [{1,2} < { 3,4, 5} < 6 < 7 < 9 < {8, 10}], C = [3 < {1, 4} < 2 < 6 < {5, 7, 8} < {9, 10}]. Совокупность противоречивых пар объектов для двух кластеризованных ранжировок А и В назовем «ядром противоречий» и обозначим S(A,B). Для рассмотренных выше в качестве примеров трех кластеризованных ранжировок А, В и С, определенных на одном и том же носителе {1, 2, 3,…, 10}, имеем S(A,B) = [(8, 9)], S(A,C) = [(1, 3), (2,4)], S(B,C) = [(1, 3), (2, 3), (2, 4), (5, 6), (8,9)]. Как при ручном, так и при программном нахождении ядра можно в поисках противоречивых пар просматривать пары (1,2), (1,3), (1.,4), …., (1, k), затем (2,3), (2,4), …, (2, k), потом (3,4), …, (3, k), и т. д., вплоть до (k–1, k).
Пользуясь понятиями дискретной математики, «ядро противоречий» можно изобразить графом с вершинами в точках носителя. При этом противоречивые пары задают ребра этого графа. Граф для S(A,B) имеет только одно ребро (одна связная компонента более чем из одной точки), для S(A,C) – 2 ребра (две связные компоненты более чем из одной точки), для S(B,C) – 5 ребер (три связные компоненты более чем из одной точки {1, 2, 3, 4}, {5, 6} и {8, 9}).
Каждую кластеризованную ранжировку, как и любое бинарное отношение, можно задать матрицей || x(a, b) || из 0 и 1 порядка k x k . При этом x(a, b) = 1 тогда и только тогда, когда a < b либо a = b . В первом случае x(b, a) = 0, а во втором x(b, a) = 1. При этом хотя бы одно из чисел x(a, b) и x(b, a) равно 1. Из определения противоречивости пары (a, b) вытекает, что для нахождения всех таких пар достаточно поэлементно перемножить две матрицы ||x(a,b)|| и ||y(a, b)||, соответствующие двум кластеризованным ранжировкам, и отобрать те и только те пары, для которых x(a,b) y(a,b)=x(b,a)y(b,a)=0.
Предлагаемый алгоритм согласования некоторого числа кластеризованных ранжировок состоят из трех этапов. На первом выделяются противоречивые пары объектов во всех парах кластеризованных ранжировок. На втором формируются кластеры итоговой кластеризованной ранжировки (т. е. классы эквивалентности – связные компоненты графов , соответствующих объединению попарных ядер противоречий). На третьем этапе эти кластеры (классы эквивалентности) упорядочиваются . Для установления порядка между кластерами произвольно выбирается один объект из первого кластера и второй – из второго, порядок между кластерами устанавливается такой же, какой имеет быть между выбранными объектами в любой из рассматриваемых кластеризованных ранжировок. Корректность подобного упорядочивания, т. е. его независимость от выбора той или иной пары объектов, вытекает из соответствующих теорем. Два объекта из разных кластеров согласующей кластеризованной ранжировки могут оказаться эквивалентными в одной из исходных кластеризованных ранжировок (т. е. находиться в одном кластере). В таком случае надо рассмотреть упорядоченность этих объектов в какой—либо другой из исходных кластеризованных ранжировок. Если же во всех исходных кластеризованных ранжировках два рассматриваемых объекта
