шестидесятые годы всплеск интереса к проблеме вновь породил несколько ошибочных заявлений о том, что теорему удалось доказать, и после этого математики наконец-то поняли, что гипотезу Пуанкаре так просто не возьмешь: с шестидесятых годов и до работ Григория Перельмана ложные доказательства предъявляли только любители (таких всегда достаточно; не присоединяйтесь к их числу).
Топология низших размерностей стала отдельной ветвью математики по удивительной причине – в многомерном случае все гораздо проще! Уже в 50-е и 60-е годы утверждения, аналогичные гипотезе Пуанкаре, были доказаны для более высоких размерностей. Трехмерный же случай продолжал оставаться камнем преткновения.
Доказательство Григория Перельмана (см. врезку) основано на идеях, которые развил в начале 1980-х годов Ричард Гамильтон (Richard Hamilton). Эти идеи неожиданным образом выводят топологические заключения из фактов о дифференциальных уравнениях – так называемых потоках Риччи (Ricci flows), обобщающих уравнения термодинамики. Впрочем, в доказательстве Перельмана долгое время не могли разобраться ведущие топологи мира, и вряд ли оно когда-нибудь станет темой популярной статьи.
К теме этой статьи примыкает интересная для компьютерщиков область математики – вычислительная топология. Вычислительные и распознавательные задачи есть, оказывается, и в этой абстрактной науке. С одной из таких задач связана и предпринятая в 1974 году очень интересная попытка решения проблемы Пуанкаре в ее алгоритмической версии.
Каждая трехмерная поверхность задается некоторым (не будем вдаваться в подробности) дискретным кодом – конечным набором символов. Одна и та же поверхность имеет бесконечное число различных кодировок. Естественный вопрос: существует ли алгоритм, определяющий по заданному кодовому слову, задает ли оно трехмерную сферу («алгоритмическая проблема Пуанкаре»). Именно эту задачу атаковали в 1974 году А. Фоменко (тот самый), И. Володин и В. Кузнецов [Володин И.А., Кузнецов В.Е., Фоменко А.Т., «О проблеме алгоритмического распознавания стандартной трехмерной сферы», Успехи математических наук, 1974, т. 29, N 5, с. 71-168.]. Они предположили, что определенное свойство кода (оно было названо «волной») дает критерий «сферичности». Однако строго доказать им удалось только, что наличие «волны» гарантирует – перед нами сфера. Доказать же, что в любом коде, задающем сферу, имеется «волна» никак не получалось. Тогда авторы сделали весьма стильный по тем временам ход – провели масштабный компьютерный эксперимент. Была написана программа для машины БЭСМ-6, которая случайным образом генерировала коды, задающие трехмерную сферу, и проверяла наличие в них «волны». В эксперименте, потребовавшем весьма длительного счета, был проверен миллион таких случайных представлений сферы – и во всех обнаружилась волна! С точки зрения здравого смысла – веский аргумент в пользу корректности предложенного алгоритма. Но авторы, будучи серьезными математиками, разумеется, воздерживались от поспешных заявлений. И не напрасно – спустя пару лет один из бывших учеников Фоменко обнаружил контрпример…
Спустя двадцать лет алгоритм распознавания 3-сферы (за экспоненциальное время) был построен [Abigail Thompson. Thin position and the recognition problem for S3. Math. Res. Lett., 1(5):613–630, 1994.]. Общая же проблема алгоритмического распознавания поверхностей размерности 3 открыта, она активно изучается и сегодня. Для более высоких размерностей давно известна ее неразрешимость, для размерности 2 она была решена еще раньше, а вот в нашем родном трехмерье все почему-то невероятно сложно устроено.
Леонид Левкович-Маслюк
[levkovl@computerra.ru]
ТЕХНОЛОГИИ: Видео-невидимо Что можно посмотреть в Интернете?
По мере распространения широкополосных подключений к Сети среди частных пользователей все больше корпораций пытаются привлечь клиентов возможностями, открывающимися благодаря новым скоростям, – прежде всего видеоконтентом.
На менее требовательных к толщине канала музыкальных сервисах получить сверхприбыли нынче трудно. Несмотря на то что продажи музыки в онлайне растут как на дрожжах (по 300% в год!), прорваться на этот рынок практически невозможно. Конечно, случаются и сюрпризы – взять хотя бы новую бизнес- модель распространения легального контента через пиринговые сети, по которой не так давно в сотрудничестве с Sony начал действовать некогда популярный файлообменник Mashboxx. Но все же работать в сфере онлайн-музыки сложно из-за острейшей конкуренции. Именно поэтому предоставление видеоинформации – несравненная по привлекательности возможность для многих компаний стать частью перспективного рынка.
Все многообразие способов выхода на рынок в общем-то сводится к двум основным: продаже контента и эксплуатации пользовательского интереса к нему. Классическим и самым распространенным воплощением последнего направления является организация поиска контента в Сети. Хотя встречаются и оригинальные задумки – например, выпустить некий плейер, довести его до культового статуса и начать стричь купоны.
Так, сетевых торговцев музыкой, мягко говоря, не приводит в восторг соседство с фирмой Apple, которая через свой интернет-магазин iTunes контролирует 80% рынка. Меж тем «яблочники» и не думают почивать на лаврах и с октября начали продавать в iTunes видеозаписи, предназначенные прежде всего для скармливания своему же плейеру iPod Video. В итоге уже за первые двадцать дней существования сервиса был продан миллион роликов по цене 1,99 доллара за штуку, а котировки акций Apple подросли на 5%. Сегодня видеоассортимент iTunes состоит из множества записей, среди которых более трех тысяч клипов и полные версии одиннадцати известных сериалов. Все материалы оптимизированы для просмотра на 2,5-дюймовом экране.
А вот вопрос «Как лучше делать деньги на видео в Интернете?» по сей день остается без ответа, так что пользователям с лихорадочной быстротой предлагаются разнообразные сервисы: от уже упомянутого поиска контента и онлайновых магазинов, этот самый контент продающих, до создания «нового телевидения», ориентированного на интернет-пользователя. Еще осенью 2004-го рынок начали будоражить слухи о готовящихся несколькими корпорациями проектах, и сейчас уже можно говорить о том, что практически все эти туманные разговоры имели под собой реальную основу. Минувший 2005-й стал периодом массового бета-тестирования видеосервисов в Сети, ну а 2006-й выявит наиболее жизнеспособных.
Разумеется, новый рынок с неопределенными правилами игры и нечетким правовым регулированием представляет собой довольно рискованное поле для финансовых вложений. Однако деньги, которые, по мнению исследовательских компаний, вот-вот хлынут на головы осмелившихся инвесторов, помогают преодолеть страх как многопрофильным «ветеранам» онлайна вроде Google или AOL, так и стартапам без «запасных аэродромов». Чтобы не быть голословным, приведу расценки на размещение рекламы, демонстрируемой пользователям при загрузке видеофайла: они колеблются в диапазоне $20–40 за тысячу показов в зависимости от популярности сервиса, тогда как размещение стандартного баннера обычно обходится в 5–10 раз дешевле. Как видим, даже на бесплатном видео можно неплохо зарабатывать…
Можно заранее предположить, что распространение видеоконтента вызовет новый виток напряженности на предмет защиты многочисленных копирайтов. Впрочем, судя по основной массе видео, гуляющего по Сети, внимание потребителей привлекают не многочасовые голливудские творения, а небольшие ролики, продолжительность которых редко превышает шестьдесят секунд. Скромный размер, конечно, не выводит контент из-под защиты авторских прав, однако вряд ли творения частных лиц вызовут массовую судебную шумиху, на которую способна MPAA. А вот популярность, которая теоретически может угрожать рыночным позициям «классического» ТВ, частным роликам уже предрекают, потому что Интернет
