Синергетика. Основы методологии

состояния, кроме одного, оказались равными нулю.

Наблюдатель системы приобрёл значительную новую информацию не только о настоящем, но и о будущем системы. Здесь, как и ранее для случая с двумя исходами интуитивно появляется понятие информации как результата отождествления системы, которая до свершения события могла с некоторой вероятностью оказаться в одном из возможных состояний с некоторым конкретным состоянием.

Нашему рассмотрению может быть дана и другая математическая интерпретация. Пусть мы имеем фазовое пространство взаимодействующих структур, имеющее n аттракторов — зон притяжения; существует некоторая точка (или область), отделяющая друг от друга бассейны притяжения этих аттракторов. Перед событием фазовое состояние системы взаимодействующих структур попадает в указанную точку или область, выйдя из которой в процессе события оно попадает в бассейн притяжения того или иного аттрактора, откуда ей уже не вернуться назад.

В классической теории вероятностей вместо вектора/) вводится некоторая функция на множестве возможных исходов бифуркационного (случайного) события.

Рассматривается в элементарном случае конечное множество ? элементов ?, которые мы будем называть элементарными исходами бифуркационного события и ?(?) множество подмножеств из ?. Элементы множества ?(?) будем называть совокупностями исходов бифуркационного события, а ? — пространством элементарных исходов бифуркационного события.

Каждому элементу ? из ? поставлено в соответствие неотрицательное действительное число p₁, — вероятность реализации i-го исхода бифуркационного события. При этом выполняется условие

В этом случае p₁, …, p_n суть вероятности элементарных исходов ?₁, …, ?_n или просто элементарные вероятности.

Каждому множеству A из ?(?) поставлено в соответствие неотрицательное действительное число P (A). Это число называется вероятностью реализации совокупности исходов. Оно определяется как сумма вероятностей элементарных исходов, входящих в A:

где i_k — номера элементарных исходов, входящих в совокупность A_j.

Если P(A) > 0, то частное Р(ВА) = Р(АВ)/Р(А), где AB — пересечение множеств А и В, называется условной вероятностью реализации совокупности исходов В при условии реализации совокупности исходов. Отсюда непосредственно следует, что Р(АВ) = Р(ВА)Р(А).

Заключение по индукции даёт общую формулу Р(А₁А₂…А_n) = Р(А₁)Р(А₂А₁)P(A₃A₂A₁₎ …Р(А_nА₁…А_n-1) (теорема умножения).

Отсюда получаем Р(АB) = Р(А)Р(ВА)/Р(B), и далее формулу полной вероятности Р(В) = P (A₁)P(BA₁) + P(A₂)P(BA₂) +…+ P(А_n)P (BА_n),

где А₁+А₂+…+ А_n = ? и В — произвольная совокупность исходов, и формулу Байеса:

Введение вектора ? = {?₁}, где ?_i =?р_i, позволяет вместо некоторой аддитивной меры, рассматривать метрический вектор единичной длины в евклидовом пространстве. В этом случае вся изложенная выше теория может быть переформулирована в терминах амплитуды вероятности.

Каждому множеству А из ?(?) может быть поставлено в соответствие неотрицательное действительное число Аp(А). Это число называется амплитудой вероятности реализации совокупности исходов А. Оно определяется как корень квадратный из суммы квадратов амплитуд вероятности элементарных исходов, входящих в А:

где i_k — номера элементарных исходов, входящих в совокупность А_j. Ар(?) = 1. Если А и B не пересекаются, то [Ap(A+B)]² =[Ар(А)]² + [Ар(В)] ².

Каждому множеству А_j, состоящему из m_j элементарных исходов бифуркационного события, соответствует некоторый m_j-мерный евклидов вектор Ар (А_j) = {a_jk} k = 1,…,m_j, модуль которого равняется

При этом разложение множества А_j на сумму взаимно не пересекающихся множеств эквивалентно разложению вектора

на сумму взаимно ортогональных векторов, каждый из которых имеет координаты, равные амплитудам элементарных событий, входящим в множество, которое он характеризует, е_j — орт координаты, характеризующей i-й элементарный возможный исход бифуркационного события.

Формула Байеса переписывается в терминах амплитуды вероятностей следующим образом:

3. Случайные величины и их связь с параметром целого. Комплексный волновой вектор

Пусть дана однозначная функция s(?) исхода бифуркационного события ?. Тогда функция Р_s, определённая формулой Р_s(А) = Р{s_-1(A)}называется вероятностной функцией s, а функция АР_s амплитудой вероятностной функции s.

Функция F_s (S) = Р_s (-бесконечность, S) = Р {s(?) < S} называется функцией распределения случайной величины s.

Если свойства состояний системы являются периодическими функциями от s, с периодом h, то назовём величину s действием и вместо величины s введём спиральную переменную, путём отображения прямой линии s на цилиндрическую круговую спираль с основанием цилиндра единичного радиуса.

Точка на этой спирали может быть описана спиральным комплексным числом с единичным модулем e^2ms/h. Проекцией каждого такого числа на комплексную плоскость является точка на окружности единичного радиуса, описываемая алгебраическим комплексным числом e ^i?.

Как величина действия s. так и величина периода действия h, могут быть приняты в качестве параметра целого при исследовании системы на ранних стадиях.

Следующим шагом в анализе бифуркационного события является введение в рассмотрение, по аналогии с действительным вектором вероятности, комплексного волнового вектора ?.

Рассмотрим первоначально компоненты этого вектора. Каждому элементарному исходу бифуркационного события (каждому элементу ?_i) сопоставим единичный вектор e_j направленный вдоль оси абсцисс комплексной плоскости z_i.. В этом случае можно ввести собственный волновой вектор данного исхода бифуркационного события

принимающий значения в любой точке единичного круга комплексной области z_i, включая его центр (в случае невозможности данного исхода) и окружность единичного радиуса (в случае неотвратимости наступления события). Наряду с этим вводим единичный комплексный собственный вектор.

Сумма комплексных волновых векторов для всего конечного множества возможных исходов формирует полный волновой вектор бифуркационного события, или волновой вектор возможных состояний системы.

4. Энтропия будущего и информация о прошлом бифуркационного события

В синергетической методологии существенную роль играют логарифмы вероятностей исходов бифуркационного события, совокупность которых для данной системы можно представить в виде собственных чисел некоторого оператора, названного нами оператором энтропии.

Осреднение собственных чисел оператора энтропии по всему пространству возможных исходов бифуркационного события позволяет получить некоторое число, которое может быть названо энтропией