чтобы не оставались пустым звуком прежние мои упоминания о нем, а с другой — поскольку я убежден, что он может принести математике немалую пользу; я предполагаю, что некоторые современные нам или будущие математики смогут при помощи указанного метода найти и другие теоремы, которые нам еще не приходили в голову»[296].
Непосредственное отношение к теоретической механике имеет трактат Архимеда «О равновесии плоских фигур» (Περί επιπέδων ισορροπιών). Он состоит из двух частей. В первой части Архимед дает строго аксиоматический вывод закона равновесия рычага и определяет центры тяжести параллелограмма, треугольника и трапеции. Во второй части вычисляются центры тяжести параболического сегмента и параболической трапеции.
По поводу времени написания этого сочинения существуют различные мнения. Английский историк математики Т. Л. Хит, а у нас С. Я. Лурье считали, что первая часть трактата «О равновесии плоских фигур» относится к раннему периоду творчества Архимеда, когда он был занят проблемами центра тяжести и равновесия рычага[297]. Вторую часть трактата Хит относит к более позднему времени, когда уже была написана «Квадратура параболы». И. Н. Веселовский выражал свое несогласие с таким разделением трактата на два различных по времени создания сочинения и приводил по этому поводу ряд соображений, которые нам представляются достаточно вескими[298]. Вкратце эти соображения сводятся к следующему.
Как первая, так и вторая часть трактата резко отличаются по своему стилю от работ Архимеда раннего периода. Так, например, в «Квадратуре параболы» еще очень заметна механическая основа, на которой строится первое доказательство: говорится о рычагах, о подвешенных грузах, о равновесии, которое предполагается практически осуществимым, т. е. устойчивым, и т. д. Ничего этого нет в трактате «О равновесии плоских фигур». Он начинается с формулировки семи аксиом, из которых с помощью чистой дедукции выводится закон рычага. Вот эти аксиомы:
«1. Равные тяжести на равных длинах уравновешиваются, на неравных же длинах не уравновешиваются, но перевешивают тяжести па большей длине.
2. Если при равновесии тяжестей на каких-нибудь длинах к одной из тяжестей будет что-нибудь прибавлено, то они не будут уравновешиваться, но перевесит та тяжесть, к которой было прибавлено.
3. Точно так же если от одной из тяжестей будет отнято что-нибудь, то они не будут уравновешиваться, но перевесит та тяжесть, от которой не было отнято.
4. При совмещении друг с другом равных и подобных плоских фигур совместятся друг с другом и их центры тяжести.
5. У неравных же, но подобных фигур центры тяжести будут подобно же расположены. (Под подобным расположением точек в подобных фигурах мы подразумеваем такое, в котором прямые, проведенные из этих точек к вершинам равных углов, образуют равные углы с соответственными сторонами.)
6. Если величины уравновешиваются на каких-нибудь длинах, то на тех же самых длинах будут уравновешиваться и равные им.
7. Во всякой фигуре, периметр которой везде выпукл в одну и ту же сторону, центр тяжести должен находиться внутри фигуры»[299].
Мы видим, что эти аксиомы отчетливо распадаются на две группы. К первой группе относятся первая, вторая, третья и шестая аксиомы, лежащие в основе теории рычага. В аксиомах четвертой, пятой и седьмой говорится о центрах тяжести плоских фигур, причем само понятие центра тяжести считается хорошо известным. Связь между обеими группами аксиом становится очевидной в ходе последующих доказательств, причем эти доказательства имеют крайне формальный характер: место физического рычага занимают простые геометрические линии, и само равновесие становится каким-то неопределенным, отвлеченно-математическим; теоремы доказываются большей частью от противного, причем это относится в равной мере как к первой, так и ко второй части трактата. Материал первой книги подготавливает все необходимое для доказательства теорем второй книги, причем между предложениями обеих частей имеется тесная логическая связь.
Таким образом, следует принять тезис о достаточно позднем времени написания трактата «О равновесии плоских фигур». В этом сочинении Архимед решил придать строгую математическую форму результатам, которые были получены им значительно раньше.
Заметим, что Э. Мах, относившийся с недоверием ко всякому применению формально-дедуктивных методов к механике, полагал, что логическая строгость архимедовской теории рычага является мнимой. По его мнению, теоремы шестая и седьмая трактата, гласящие, что как соизмеримые, так и несоизмеримые величины уравновешиваются на длинах, обратно пропорциональных тяжестям, не могут быть выведены из приведенных выше семи аксиом без привлечения опытных данных. Вот что он писал по этому поводу в «Механике».
«Хотя результаты, полученные Архимедом и последующими исследователями, с первого взгляда и кажутся чрезвычайно поразительными, тем не менее у нас возникают при более точном рассмотрении сомнения в правильности их. Из одного допущения равновесия равных грузов на равных расстояниях выводится обратная пропорциональность между грузом и плечом рычага! Как же это возможно?. Раз уже одну голую зависимость равновесия от груза и расстояния вообще невозможно было
Точка зрения Маха вызвала оживленную дискуссию среди историков науки. Мы не имеем возможности останавливаться на этой дискуссии, так как это заняло бы слишком много места; ограничимся ссылкой на И. Н. Веселовского, который утверждал, что доказательства Архимеда оказываются совершенно безупречными, если разобраться в смысле шестой аксиомы, которая на первый взгляд кажется чистой тавтологией (именно так, по-видимому, воспринимал ее Мах). Этот смысл состоит в следующем: «Действие груза, приложенного в данной точке, определяется только его величиной, т. е. совершенно не зависит от его формы или ориентации».
Понимаемая таким образом шестая аксиома позволяет заменить несколько масс одной, помещенной в центре их тяжести; в этом смысле она и употребляется Архимедом при доказательстве теорем шестой и седьмой первой книги (а также теоремы первой второй книги). Доказательство закона рычага приобретает теперь вполне строгую логическую форму[301].
Так или иначе, трактат Архимеда «О равновесии плоских фигур» считался на протяжении ряда веков образцом математической строгости. Наряду с письмами к Досифею он тщательнейшим образом изучался математиками XVII в., среди которых, помимо перечисленных выше ученых, были такие гиганты, как Галилей и Гюйгенс.
Особое положение в научном наследии Архимеда занимает трактат «О плавающих телах» (Περί των όχουμένων), состоящий из двух книг. Это, по-видимому, одно из последних, если не самое последнее сочинение великого сиракузца. В пользу этого предположения говорит явная незаконченность конца второй книги. Тем не менее этот трактат можно считать едва ли не высшим достижением Архимеда, свидетельствующим о том, что до конца своих дней (прерванных, как известно, злосчастным ударом меча римского воина) Архимед находился в расцвете своих творческих потенций.
Интересна позднейшая история этого трактата. В XIII столетии один из немногих в то время знатоков греческого языка — Вильгельм Мербеке (ум. 1282 г.) выполнил по просьбе Фомы Аквинского перевод ряда сочинений Архимеда (а также других греческих ученых) на латынь. Среди переведенных сочинений был и трактат «О плавающих телах». Вскоре после этого греческая рукопись трактата была каким-то образом утеряна. В течение нескольких столетий трактат оставался известен лишь в переводе Меркебе. И лишь в начале XX в. Хейберг обнаружил около трех четвертей оригинального текста трактата на том самом палимпсесте, на котором был записан и «Эфод».
Первая часть трактата «О плавающих телах» начинается с предположения, которое можно было бы назвать физической аксиомой, если бы оно не заключало в себе целую физическую концепцию:
