Пуанкаре жил с 1854 по 1912 год, был профессором Парижского университета. Бородой и пенсне он походил на Анри Тулуз-Лотрека, который жил в Париже в то же самое время, хоть и был всего лишь на десять лет моложе его.
Ещё при жизни Пуанкаре начался тревожно глубокий кризис в самих основах точных наук. Годами научная истина была вне всяких сомнений, логика науки была непогрешимой, и если иногда учёные ошибались, то считалось, что они лишь перепутали правила. На все великие вопросы были даны ответы. Миссия науки теперь состояла лишь в том, чтобы доводить эти ответы до всё большей и большей степени точности. Правда, всё ещё оставались некоторые необъяснимые явления как, например, радиоактивность, передача света через “эфир”, и особые взаимоотношения магнитных и электрических сил. Но и они, если исходить из прошлого опыта, должны были в конце концов проясниться. Вряд ли кто-либо догадывался, что через несколько десятилетий больше не будет абсолютного пространства, абсолютного времени, абсолютной материи или даже абсолютной величины; что классическая физика, научная скала веков, станет “приблизительной”; что самые серьёзные и уважаемые астрономы сообщат человечеству о том, что если смотреть в достаточно сильный телескоп достаточно долго, то увидишь свой собственный затылок!
Основу нарушающей все устои Теории относительности поняли лишь очень немногие, и Пуанкаре, самый именитый математик своего времени, был одним из них.
В своей книге “Основы науки” Пуанкаре объяснял, что предпосылки кризиса в основах наук существовали давно. Он говорил, что уже давно и тщетно ищут возможность продемонстрировать аксиому, известную как пятый постулат Евклида, и этот поиск стал началом кризиса. Евклидов постулат о параллельных линиях, который гласит, что через данную точку можно провести только одну линию параллельную данной прямой, мы обычно учим ещё в геометрии за десятый класс. Это одна из основополагающих аксиом, на которых строится вся геометрия.
Все остальные аксиомы казались настолько очевидными, что даже и не подвергались сомнению, но с этой дело было не так. И всё же от неё нельзя было избавиться, не разрушив огромные области математики, и казалось, что никто не в состоянии привести её к чему-либо более простому. Даже трудно представить себе, какие усилия были потрачены впустую в этой химерической надежде, писал Пуанкаре.
И вот наконец, в первой четверти девятнадцатого века, почти в одно и то же время, один венгр и один русский — Больяй и Лобачевский — неопровержимо установили, что доказательство пятого постулата Евклида невозможно. Они сделали это, рассудив так: если бы и была возможность свести постулат Евклида к другим, более надёжным аксиомам, то выявилось бы следующее: опровержение Евклидового постулата привело бы к логическим противоречиям в геометрии. Тогда они повернули Евклидов постулат наоборот.
С самого начала Лобачевский предположил, что через данную точку можно провести две параллельных прямых по отношению к данной прямой. При этом он сохраняет все остальные аксиомы Евклида. Исходя из этой гипотезы он вывел целый ряд теорем, в которых невозможно найти противоречий, и создал геометрию, чья безупречная логика ни в чём не уступает Евклидовой.
Итак, не найдя никаких противоречий, он доказывает, что пятый постулат нельзя свести к более простым аксиомам.
И встревожило не только это доказательство. А его рациональный побочный продукт, который вскоре затмил его и почти всё остальное в области математики. Математика, краеугольный камень научной обоснованности, вдруг оказался неустойчивым.
Теперь у нас стало две противоречивых версии непоколебимой научной истины, верной для всех людей любого возраста независимо от индивидуальных наклонностей.
И это стало основой глубочайшего кризиса, который потряс научное благополучие Позолоченного века. Как узнать, которая из этих геометрий права? Если нет основы для их разграничения, тогда получается, что вся математика допускает логические противоречия. Но математика, допускающая внутренние противоречия, вовсе и не математика. Конечным результатом неевклидовой геометрии становится ничто иное, как шаманские заклинания, при которых вера поддерживается лишь чистым внушением!
Ну и раз уж плотина прорвалась, то вряд ли можно ожидать, что число противоречивых систем с нерушимыми научными истинами ограничивается лишь двумя. Один немец по имени Риман представил ещё одну непоколебимую систему геометрии, которая выбрасывает за борт не только евклидов постулат, но и первую аксиому, которая гласит, что через две точки можно провести только одну прямую линию. И опять же нет никакого внутреннего противоречия, есть только несоответствие и геометрии Лобачевского, и евклидовой геометрии.
Согласно теории относительности геометрия Римана лучше всего даёт описание мира, в котором мы живём.
У Три-Форкс дорога врезается в узкий каньон из беловато-бежевых скал чуть дальше каких-то пещер, открытых Льюисом и Кларком. К востоку от Бьютта мы долго и с трудом подымаемся вверх, пересекаем водораздел континента и спускаемся в долину. Затем проезжаем мимо огромной трубы плавильного завода в Анаконде, сворачиваем в сам город и находим хороший ресторан с бифштексом и кофе. Снова долго подымаемся в гору, дорога ведет к окружённому сосновым лесом озеру, где рыбаки стаскивают небольшую лодку к воде. Затем дорога снова вьётся вниз по сосняку и по высоте солнца я вижу, что утро почти кончилось.
Проезжаем Филллисбург и выкатываемся на долинные луга. Здесь встречный ветер становится более порывистым, и я сбавляю скорость до пятидесяти пяти, чтобы снизить его воздействие. Проезжаем Максвилл, и к тому времени, как добираемся до Холла, чувствуем, что нам давно пора отдохнуть.
У дороги находим церковный двор и делаем остановку. Ветер теперь стал резким и холодным, но солнце припекает, мы раскладываем свои куртки и шлемы на траве с подветренной стороны церкви и располагаемся на отдых. Здесь всё так открыто вокруг, что становится одиноко, но всё-таки прекрасно. Простор лучше чувствуется, когда горы или холмы находятся на некотором расстоянии. Крис накрывает себе лицо курткой и пробует уснуть.
Без Сазэрлэндов всё теперь стало иначе, так одиноко. И сейчас, вы уж извините меня, пока одиночество не прошло, я продолжу свою шатокуа.
Пуанкаре говорил, для разрешения проблемы, что такое математическая истина, нам сначала надо спросить себя, какова же природа геометрических аксиом. Являются ли они, как утверждал Кант, синтетическими априорными суждениями? То есть, существуют ли они как фиксированная часть сознания человека независимо от опыта и не созданы опытом? Пуанкаре так не считал. Тогда они навязываются нам с такой силой, что и помыслить нельзя о противном или же делать на этом теоретические построения. Тогда не было бы неевклидовой геометрии.
Следует ли тогда сделать вывод, что геометрические аксиомы — экспериментальные истины? И с этим Пуанкаре не соглашался. Если бы это было так, то они постоянно подвергались бы изменениям и пересмотру по мере появления новых лабораторных данных. А это противоречит самой природе геометрии.
Пуанкаре пришёл к выводу, что геометрические аксиомы — это условности, и наш выбор среди всех возможных условностей зиждется на экспериментальных фактах, но он остаётся свободным и ограничивается только необходимостью избавиться от всех противоречий. Таким образом, постулаты могут оставаться строго верными, даже если экспериментальные законы, предопределившие их принятие, всего лишь приблизительны. Другими словами, геометрические аксиомы представляют собой лишь скрытые определения.
Определив природу геометрических аксиом, он задался вопросом, чья геометрия верна, Евклида или Римана?
И ответил, вопрос не имеет смысла.
То же самое, что спрашивать, верна ли метрическая система, а аптекарская ложна, верны ли декартовы координаты и ложны ли полярные. Одна геометрия не может быть верней другой, она может быть только удобней. Геометрия не верна, она выгодна.
