Наука Плоского мира. Книга 4. День Страшного Суда

«Флатландия».

Есть косвенные свидетельства, что эти двое встречались, однако ни Хинтон, ни Эббот не оспаривали пальму первенства и не напрягались по поводу работ друг друга. В ту пору идея «четвёртого измерения», что называется, «витала в воздухе». К ней то и дело обращались серьёзные физики и математики, она будоражила умы самых разных людей – от спиритуалистов и охотников за привидениями до так называемых теологов гиперпростраства. Так же как мы, трёхмерные существа, можем наблюдать за плоской бумажной «вселенной», ничем не выдавая своего присутствия, так и четвёртое измерение – очень удобное место для поселения там всевозможных привидений, духов и богов.

А. Квадрат из истории Эббота напрочь отрицает не только наличие третьего измерения, но и саму возможность его существования, до тех пор, пока посетившая его Сфера не раскрывает ему глаза, демонстрируя трёхмерное пространство. Там, где оказалась бессильна логика, пригодился личный опыт. Эббот призывал своих читателей не вводить себя в заблуждение картиной мира, рисуемой несовершенными человеческими органами чувств. Наивно думать, что все потенциально возможные миры должны быть похожи на наш собственный, или, если точнее, на мир нашего воображения. Используя бенфордовскую дихотомию, между антропоцентризмом и космоцентризмом, Эббот твёрдо стоял на позициях последнего.

Пространство Флатландии подчиняется традиционной евклидовой геометрии, с которой Эббот пересекался ещё в школе и, похоже, они друг другу не приглянулись. Чтобы избавиться от ограничения, обусловленного формой пространства, нам понадобится более общая модель, изобретённая, по всей видимости, великим математиком Карлом Фридрихом Гауссом. Он составил изящную формулу для вычисления кривизны поверхности, то есть определения кривизны поверхности в произвольно заданной точке. Эту формулу Гаусс полагал одним из наиболее выдающихся своих достижений, называя её theorema egregium — «замечательной теоремой». Замечательно в ней прежде всего то, что она не зависит от характера вложения поверхности во вмещающее пространство. Эта формула описывает сущность самой поверхности.

Звучит, может быть, не слишком впечатляюще, но на деле из этого следует, что пространство может быть изогнутым само по себе, а не под действием внешних причин. Вообразите сферу, парящую в трёхмерном пространстве. То, что предстаёт перед вашим мысленным взором, определённо искривлено. Подобный взгляд на кривизну естественен для человеческого воображения, однако он предполагает наличие окружающего пространства, внутри которого будет искривляться сфера. Формула Гаусса не оставляет камня на камне от этой идеи: она доказала, что искривление сферы можно обнаружить, не покидая её поверхности. Чтобы иметь направление для искривления, поверхности не требуется окружающее пространство, становящееся, таким образом, несущественным.

По словам биографа Гаусса, Сарториуса фон Вальтерсхаузена, великий математик имел привычку объяснять свою мысль, прибегая к образу муравья, ползущего по некой поверхности. По мнению такого муравья, кроме неё ничего не существует. Тем не менее, блуждая по поверхности с рулеткой (хорошо-хорошо, Гаусс не упоминал ни о каких рулетках, но не будем пуристами), муравей может сделать логический вывод о том, что его вселенная искривлена. Не обязательно изогнута вокруг чего-то, а просто искривлена.

Все мы когда-то учили в школе, что, согласно евклидовой геометрии, сумма углов любого треугольника равна 180°. И это верно, но только для плоской поверхности, а не для искривлённой. Возьмите глобус и нарисуйте на нём треугольник, начиная с Северного полюса и вниз до экватора, затем вдоль экватора на четверть его длины, после чего обратно назад к Северному полюсу. Стороны такого треугольника окажутся дугами на сфере. По аналогии с прямыми линиями эти дуги будут кратчайшими путями между двумя заданными точками на поверхности. Все углы этого треугольника получатся прямыми, то есть равными 90°, а их сумма будет составлять не 180°, а 270°. А что такого, спросите вы, ведь сфера не плоскость? Однако данный пример показывает нам, как, измеряя треугольники, можно определить, находимся мы на плоскости или нет. Именно это говорит нам замечательная теорема Гаусса. Метрика Вселенной, которую можно найти, проанализировав формы и размеры сравнительно небольших треугольников, расскажет муравью, как именно она искривлена. Ему достаточно будет подставить полученные данные в формулу.

Сам Гаусс был очень впечатлён своим открытием. Его ассистент, Бернхард Риман, распространил формулу на многомерные континуумы, положив начало новому разделу математики – дифференциальной геометрии. Тем не менее вычисление кривизны пространства в каждой его точке требовало огромной работы, и математики пытались понять, нет ли более простого пути решения этой задачи, пусть даже несколько менее информативного. Они искали более гибкое определение «формы», которым было бы проще пользоваться.

Способ, который они придумали, сейчас называется топологией. Она оперирует качественными характеристиками формы и не требует численных измерений. В топологии два континуума считаются одинаковыми, если один из них можно преобразовать в другой