Том (7). Острие шпаги

33

В своем 42-м замечании на полях книги «Арифметика» Диофанта Пьер Ферма записал по-латыни: «…наука о целых числах, которая, без сомнения, является прекраснейшей и наиболее изящной, не была до сих пор известна ни Боше, ни кому-либо другому, чьи труды дошли до меня» (Боше де Мазариак – математик, издавший в переводе на латынь с древнегреческого «Арифметику» Диофанта, снабдив ее своими комментариями и дополнениями, ставшую настольной книгой Ферма). (Примеч. авт.)

34

Примечание автора для особо интересующихся.

Метод совмещенных парабол Пьера Ферма сводится к тому, что в системе прямоугольных координат (декартовых!) с горизонтальной осью x и вертикальной q – (x0₁q) – вычерчивается парабола по уравнению q = xⁿ. Чертеж поворачивается на 180º, и на нем наносится (см. рис.) еще одна система прямоугольных координат (y0₁l) с горизонтальной осью «у» и вертикальной «l».

Вертикальные оси двух систем координат отстоят одна от другой на величину z, а горизонтальные на zⁿ. В перевернутой системе координат тоже вычерчивается точно такая же парабола по уравнению l = yⁿ. Две совмещенные таким способом параболы образуют полусимметричную геометрическую фигуру, ограниченную ими. Выбирая точку x₁ на оси x, строим от нее вертикальный отрезок (до пересечения с первой построенной параболой) с длиной g₁ = X₁ⁿ. Проведя теперь горизонтальную линию от пересечения вертикального отрезка с параболой через фигуру до второй параболы, получим точку, вертикальный отрезок от которой до оси у перевернутой координатной системы отметим на оси y точку y₁. Длина же этого отрезка, равная ординате перевернутой параболы, будет l = yⁿ. Из построения следует: q + l₁ = x₁ⁿ + y₁ⁿ = z₁ⁿ. Диофантово уравнение, положенное Ферма в основу его Великой теоремы. Все это восстановлено А. Н. Кожевниковым.

35

Примечание автора для особо интересующихся. По просьбе автора вывод «бинома Ферма» выполнен заслуженным деятелем науки и техники РСФСР доктором технических наук профессором М. М. Протодьяконовым следующим образом. Из основной формулы xⁿ + yⁿ = zⁿ и вышеприведенного рисунка следует: (A + B + C)ⁿ = (A + C)ⁿ + (B + C)ⁿ. После умножения обеих частей уравнения на множитель меньше единицы

после объединения одинаковых степеней, раскрытия малых скобок, очевидных сокращений и преобразований:

после сокр. прав. части

Обозначив через

получаем «Бином Ферма»: (A + B)ⁿ = (A + MB)ⁿ + (MA + B)ⁿ, может быть, несправедливо забытый современными математиками, но восстановленный А. Н. Кожевниковым.

36