Песни о Паскале

Рис.142 – Состояние империи после присоединения страны «F»

Итак, строительство двинулось, но когда оно закончится? Очевидно, что страны с окраин империи рано или поздно войдут в число желающих, то есть, станут серыми, и тогда не останется белых соседей. А раз так, то очередь на присоединение постепенно опустеет, все страны почернеют, и строительство империи прекратится.

«Хорошо, – скажете, – только, причем тут поиск кратчайшего пути?». Но мы ведь не зря пустили купцов вослед завоевателям! Если купец потянет за собой ниточку, исходящую из начального узла «E», то из любого узла империи сможет вернуться к началу, следуя по нити в обратном направлении (Рис. 143).

Рис.143 – Порядок возврата в исходный узел «Е» по цепочке обратных связей

Ник догадался, что путь из любого узла графа вдоль этих ниточек к исходной точке будет кратчайшим. Это следует из того, что империя расширялась присоединением ближайших соседей. Действительно, узлы «D» и «F» – ближайшие к исходному узлу «E», ведь они его соседи. Точно так же узел «G» – ближайший к узлу «F», а узел «H» – ближайший к узлу «G». Эти рассуждения справедливы для любых ниточек обратных связей.

Цепочки обратных связей тоже образуют граф, называемый деревом. Программисты часто применяют деревья, основное свойство которых состоит в наличии единственного пути между любыми узлами. Узел, из которого начато строительство дерева, является его корнем – это центр построенной нами империи (не географический, а политический центр).

Итак, строительство империи породило дерево обратных связей. Но как организовать эти ниточки? Введем в структуру узла ещё одно поле – указатель на узел, из которого мы пришли сюда по ходу расширения империи. Назовем это поле mPrev – предыдущий. Например, для узлов «F» и «D» предыдущим будет узел «E».

Остроумный Ник додумался по ходу строительства империи убить ещё одного зайца: определить длину пути от любого узла до центра. Так одновременно решается задача о минимальном количестве пересекаемых границ, которую в 49-й главе он решал через массив множеств. В самом деле, к чему плодить две программы, если можно обойтись одной? Ведь в ходе постройки дерева обратных связей определить расстояния несложно. Достаточно при переходе к очередному узлу отмечать в нём расстояние к центру империи, – оно будет на единицу больше того, что хранится в предыдущем узле. В центре империи это расстояние равно нулю, а в остальных узлах будет таким, как показано на рис. 144.

Рис.144 – Расстояния и пути от узлов графа к центру империи

Подведем итог размышлениям Ника. Для поиска кратчайшего пути между двумя узлами графа, а заодно и определения расстояния между ними, сначала построим империю, центром которой будет один из этих двух узлов. Алгоритм этот называют обходом графа в ширину, он служит основой для решения многих задач на графах. Обход графа – не пустая прогулка. Двигаясь по нему, мы разместим в узлах информацию, необходимую для второго этапа решения – формирования кратчайшего пути.

Структура узла

Теперь уточним полезную нагрузку узла, что добавится в него? Во-первых, это упомянутый выше указатель на предыдущий узел mPrev – ниточка обратной связи. Во-вторых, надо застолбить поле для расстояния к центру империи, назовем его mDist – «дистанция». Не забыть бы поле для окраски узла одним из трех цветов: белым, серым или черным. Назовем это поле mColor – «цвет», и будем хранить в нём одно из перечислимых значений цвета: White, Gray, Black (о перечислениях сказано в главе 32). В итоге проясняется следующая структура для узла графа:

type TColor = (White, Gray, Black); { Перечисление: белый, серый, черный }
      TNode = record       { Запись для страны (узел графа) }
      mName : Char; { Название страны (одна буква) }
      mColor: TColor; { цвет узла, изначально белый }
      mDist : integer; { длина пути к узлу, изначально -1 }
      mPrev : PNode; { узел, из которого пришли в текущий }
      mLinks: PLink; { список смежных узлов (ребер) }
      mNext : PNode; { связь во вспомогательном списке }
      end;