Далее, когда положительные и отрицательные величины складываются или вычитаются, то они принимаются за сами по себе положительные и отрицательные, а не за становящиеся такими лишь внешним образом через отношение сложения и вычитания. В выражении 8 – (– 3) первый минус противополагается восьми, а второй минус (– 3) есть противоположный в себе, вне этого отношения.
Ближе обнаруживается это в умножении и делении; здесь положительное следует брать по существу, как непротивоположное, отрицательное же, как противоположное, а не принимать обоих определений одинаково лишь за противоположные вообще. Так как учебники при доказательстве правил о знаках в обоих этих действиях не идут дальше понятия противоположных величин вообще, то эти доказательства страдают неполнотой и запутываются в противоречиях. — Но плюс и минус в умножении и делении получают более определенное значение положительного и отрицательного в себе, так как взаимное отношение множителей, заключающееся в том, что они суть по отношению друг к другу единица и численность, не есть просто отношение увеличения и уменьшения, как при сложении и вычитании, а имеет качественный характер, вследствие чего плюс и минус тоже получают качественное значение положительного и отрицательного. — Если не принимать во внимание этого определения и исходить только из понятия противоположных величин, легко можно вывести ложное заключение, что если 
, то наоборот 
. Так как один из множителей означает численность, а другой—единицу, причем за первую принимается обыкновенно первый множитель, то оба выражения 
и 
различаются тем, что в первом + а есть единица и – а численность, а во втором наоборот. По поводу первого обыкновенно говорят, что если + а должно быть взято – а раз, то я беру + а не просто а раз, а вместе с тем противоположным ему образом, т. е. 
раз 
(80) поэтому, так как мы имеем тут + а, то его следует брать отрицательно, и произведение есть 
. Если же во втором случае – а должно быть взято + а раз, то это – а равным образом следовало бы брать не – а раз, а в противоположном ему определении, именно + а раз. Следовательно, рассуждая, как и в первом случае, произведение должно было бы быть 
. — То же самое должно было бы иметь место и при делении.
Это заключение необходимо, поскольку плюс и минус берутся лишь как противоположные величины вообще; минусу в первом случае приписывается сила изменять плюс; во втором же случае плюс не должен был бы иметь такой силы над минусом, несмотря на то, что он так же, как и последний, есть противоположное определение величины. И в самом деле, плюс не обладает такой силой, потому что он должен быть взят здесь по своему качественному определению относительно минуса, поскольку множители относятся между собою качественно. Постольку, следовательно, отрицательное есть здесь противоположное в себе, противоположное, как таковое, а положительное есть неопределенное, безразличное вообще; правда, оно есть также и отрицательное, но отрицательное другого, а не в себе самом. — Определение, как отрицание, получается, стало быть, лишь через отрицательное, а не через положительное.
Точно так же и 
потому, что отрицательное а должно быть взято не просто противоположным образом (а ведь именно так оно должно было бы быть взято при умножении на – а), а отрицательным образом. Отрицание же отрицания есть положительное.
