Геометрию точек Лагранжа можно вывести из выражений для энергии пылинки. Энергия эта состоит из кинетической (пылинка вращается вместе с поворотной площадкой) и потенциальной (связанной с гравитационным притяжением Земли и Луны) составляющих. На рисунке полная энергия пылинки показана двумя способами: в виде изогнутой поверхности, высота которой представляет полную энергию, и в виде системы горизонталей — кривых, во всех точках которых энергия постоянна. Поверхность можно рассматривать как некий гравитационный ландшафт. Пылинка может двигаться по этому ландшафту, но до тех пор, пока на нее не подействует какая-нибудь дополнительная сила, закон сохранения энергии требует, чтобы она оставалась на одной горизонтали. В общем, она может двигаться вбок по склону холма, но не вниз и не вверх.
Если «линия» горизонтали представляет собой одну-единственную точку, пылинка будет находиться в равновесии — она останется в той точке поворотной площадки, куда вы ее поместите. Существует пять таких точек, на рисунке с горизонталями они обозначены как L1 — L5. В точках L1, L2 и L3 энергетическая поверхность имеет форму седла: в одних направлениях она уходит вниз, в других — вверх. Точки L4 и L5, напротив, располагаются на вершинах энергетического ландшафта. Важная разница между одними и другими точками состоит в том, что вершины (и локальные впадины, которых здесь нет) окружены небольшими замкнутыми горизонталями, очень близкими к собственно верхушке пика. В седловинах не так: горизонтали вблизи любой точки уходят прочь, и хотя, возможно, когда-нибудь где-нибудь замыкаются, но делают это не сразу и далеко не рядом.
Если пылинку чуть сдвинуть с точки Лагранжа, она окажется на одной из ближайших к ней горизонталей и будет по ней двигаться. В случае седловидной поверхности любая такая горизонталь уведет объект далеко от первоначальной позиции. К примеру, если пылинка, находясь в точке L2, чуть сдвинется вправо, она попадет на громадную замкнутую горизонталь, которая уведет ее далеко-далеко, вокруг Земли, за точку L3 на дальней стороне планеты. Поэтому можно сказать, что равновесие в точке на седловидной поверхности может быть только неустойчивым: первоначальное небольшое возмущение затем многократно увеличивается. На вершинах и во впадинах равновесие устойчиво: ближайшие к ним горизонтали замкнуты и целиком располагаются вблизи точки равновесия. Небольшое первоначальное возмущение небольшим и останется. Тем не менее сдвинутая пылинка уже не находится в равновесии: ее реальное движение складывается из небольших колебаний по замкнутому контуру и общего вращения поворотной площадки. Подобные орбиты называют орбитами-головастиками. Главное, что о них можно сказать, это то, что пылинка остается вблизи пика.
(Я здесь немного схитрил, поскольку на рисунке показаны положения объектов, но не их скорости. Отклонения по скорости усложняют реальную орбиту, но вывод об устойчивости равновесия остается верным. См. главу 9.)
Точки Лагранжа — это те особенности гравитационного ландшафта, которые можно с выгодой использовать при планировании космических полетов. В 1980-е годы наблюдался всплеск интереса к космическим колониям — гигантским искусственным обиталищам, где люди могли бы жить и, пользуясь солнечным светом как источником энергии, выращивать для себя пищу. В частности, они могли бы жить на внутренней стороне пустотелого цилиндра, если бы тот вращался вокруг своей оси, создавая тем самым искусственную гравитацию при помощи центробежной силы. Точка Лагранжа — привлекательное место для строительства такого космического дома, поскольку здесь любое тело пребывает в равновесии. Даже в седловине, в одной из точек неустойчивого равновесия — L1, L2 или L3, — достаточно будет небольших импульсов от включаемых изредка ракетных двигателей, чтобы удержать сооружение на месте и не дать ему уйти. Пиковые точки — L4 и L5 — подходят еще лучше; там не нужна вообще никакая коррекция.
Природа тоже знает о существовании точек Лагранжа, в том смысле, что существуют вполне реальные конфигурации, достаточно близкие к тем, что рассматривали теоретически Эйлер и Лагранж, так что их результаты должны работать. При этом в реальных примерах нередко нарушаются некоторые технические требования модели; к примеру, пылинке не обязательно находиться в одной плоскости с двумя остальными телами. Основные свойства точек Лагранжа относительно устойчивы и действуют для всего хотя бы отдаленно похожего на идеализированную модель.
Самый зрелищный пример — Юпитер, у которого имеются собственные «космические колонии»; речь идет об астероидах, известных под условными названиями троянцев и ахейцев. Рисунок сделан в конкретный момент времени во вращающейся системе координат, которая поворачивается вместе с движущимся по орбите Юпитером. Первый астероид группы троянцев — 588 Ахилл — обнаружил в 1906 году Макс Вольф. По состоянию на 2014 год было известно 3898 ахейцев и 2049 троянцев. Считается, что всего существует около миллиона троянцев и ахейцев более километра в поперечнике. Названия эти астероиды получают традиционные: Иоганн Пализа, вычисливший орбитальные элементы для множества астероидов, предложил называть эти тела в честь участников Троянской войны. Почти все ахейцы располагаются возле точки L4, а большинство троянцев — возле точки L5. Однако по какому-то капризу истории грек Патрокл оказался среди троянцев, а троянец Гектор со всех сторон окружен ахейцами. Хотя на картинке эти тела образуют относительно небольшие кластеры, астрономы считают, что по количеству их примерно столько же, сколько обычных астероидов.
Ахейцы движутся приблизительно по той же орбите, что и Юпитер, но на 60° опережая его; троянцы, напротив, на 60° отстают. Как объяснялось в предыдущем разделе, их орбиты не идентичны орбите Юпитера, хотя и близки к ней. Более того, аппроксимация их круговыми орбитами на той же плоскости нереалистична — орбиты многих таких астероидов наклонены к эклиптике под различными углами, вплоть до 40°. Кластеры сохраняют единство потому, что точки L4 и L5 в модели системы «двух с половиной» тел являются точками устойчивого равновесия, а большая масса Юпитера делает их достаточно стабильными в динамике реальной системы множества тел, поскольку возмущения со стороны внешних тел — преимущественно Сатурна — относительно малы. Однако в долговременной перспективе как один, так и другой кластер могут терять или приобретать отдельные астероиды.
По сходным причинам можно ожидать присутствия собственных троянцев (для общности терминологии юпитерианские ахейцы тоже считаются почетными троянцами) и у других планет. Так, у Венеры имеется временный троянец — 2013 ND15. У Земли есть более постоянный 2010 TK7 в
