В качестве исключения и приятного оксюморона можно привести плоский тор. Тор имеет форму бублика с центральным отверстием, и его просто невозможно назвать плоским в обычном смысле этого слова. Тем не менее существует плоское (нулевой кривизны) многообразие с топологией бублика. Возьмем квадрат — он плоский — и концептуально склеим вместе противоположные его стороны. Квадрат для этого не нужно физически сгибать, достаточно объявить тождественными соответствующие точки на противоположных его сторонах, то есть добавить геометрическое правило, согласно которому эти точки представляют собой «одно и то же».
Такого рода отождествление часто используется в компьютерных играх, когда какой-нибудь инопланетный монстр уносится за границу экрана и тут же появляется с другой стороны. Программисты на своем жаргоне называют это «свернуть»: живо и наглядно, но не стоит воспринимать это буквально как указание к действию. Муравей прекрасно понял бы плоский тор: свертывание вертикальных граней превращает экран в цилиндр. Затем вы повторяете эту процедуру и соединяете концы цилиндра, получая при этом поверхность с топологией тора. Его метрика наследуется от квадрата, то есть поверхность остается плоской. У настоящего бублика другая метрика, поскольку его поверхность встроена в евклидово пространство.
Фокус с плоским тором можно проделать и с релятивистским пространством-временем, если воспользоваться упрощенной двумерной версией теории относительности Минковского. И бесконечная плоскость Минковского, и квадрат на этой плоскости с отождествленными противоположными сторонами представляют собой плоские варианты пространства-времени. Но топологически один из них — это плоскость, а другой — тор. Проделав ту же операцию с кубом, можно получить плоский трехмерный тор той же размерности, что и пространство.
Аналогичные конструкции возможны в эллиптических и гиперболических пространствах. Берется кусок пространства подходящей формы, его края склеиваются попарно — и получается многообразие той же метрики, но другой топологии. Многие из этих многообразий компактны, то есть имеют конечный размер, как сфера или тор. К концу XIX века математики открыли несколько конечных пространств постоянной кривизны. В 1900 году Шварцшильд привлек к их работе внимание космологов, определенно ссылаясь на трехмерный тор. Александр Фридман проделал то же самое для пространств отрицательной кривизны в 1924 году. В отличие от евклидова и гиперболического пространства эллиптическое пространство конечно, но тот же фокус можно проделать и там; получатся пространства постоянной положительной кривизны с разными топологиями. Тем не менее на протяжении 60 лет после 1930 года в астрономических текстах повторялся один и тот же миф о том, что существует всего три разновидности пространства постоянной кривизны — классические неевклидовы геометрии. Поэтому астрономы работали с этим ограниченным набором вариантов пространства-времени и были ошибочно уверены, что иных не существует.
Космологи, охотившиеся на более крупную дичь, обратили свои взоры к началу Вселенной, рассмотрели три классические геометрии постоянной кривизны и определили метрику Большого взрыва, рассказ о которой мы продолжим в следующей главе. Это стало таким откровением, что на долгое время форма пространства перестала представлять насущный вопрос. Все «знали», что это сфера, потому что такова простейшая метрика для Большого взрыва. Однако в пользу такой формы почти нет наблюдательных данных.
Древние цивилизации считали Землю плоской, и, хотя они ошибались, у них были данные в пользу такой гипотезы: на взгляд человека, Земля действительно выглядела плоской. Если сегодня говорить о Вселенной, то мы знаем даже меньше, чем они знали о Земле. Но в воздухе носятся идеи, способные в принципе ослабить наше невежество.
* * *Если не сфера, то что?
В 2003 году специализированный аппарат NASA для изучения анизотропии микроволнового фона, названный после запуска именем Дэвида Уилкинсона (WMAP, Wilkinson Microwave Anisotropy Probe), занимался тем, что измерял пронизывающее все вокруг радиоизлучение, известное как реликтовое излучение, или космическое микроволновое фоновое излучение; полученные им результаты показаны на первом рисунке следующей главы. Статистический анализ флуктуаций интенсивности излучения, приходящего с разных направлений, помогает понять, как вещество в новорожденной Вселенной собиралось в сгустки. До запуска WMAP большинство космологов считало, что Вселенная бесконечна и, следовательно, должна допускать произвольно большие флуктуации. Но данные WMAP показали, что существует предел размера флуктуаций, что указывает на конечность Вселенной. Как выразился журнал Nature, «в ванне не увидишь прибоя».
Американский математик Джеффри Уикс проанализировал статистику этих флуктуаций для многообразий с различными топологиями. Один из возможных вариантов дал результат, очень близкий к реальным данным, — и средства массовой информации поспешили объявить, что Вселенная имеет форму футбольного мяча (обычного, для европейского футбола). Это была неизбежная метафора для фигуры, которая восходила к работам Пуанкаре — пространства в форме додекаэдра. В начале XXI века футбольные мячи сшивались или склеивались из 12 пятиугольников и 20 шестиугольников, образующих то, что математики называют усеченным икосаэдром, то есть икосаэдр со срезанными углами. Икосаэдр — это правильный многогранник с 20 треугольными гранями, сходящимися по пять в каждой вершине. Додекаэдр, у которого имеется 12 пятиугольных граней, появляется на сцене потому, что центры граней икосаэдра образуют додекаэдр, так что оба многогранника обладают одинаковыми симметриями. Конечно, «футбольный мяч» больше нравится средствам массовой информации, хотя технически не является правильным.
Поверхность футбольного мяча — это двумерное многообразие. Пуанкаре был пионером алгебраической топологии, особенно трехмерной, и однажды он обнаружил, что ошибся. Чтобы доказать это (в отличие от политиков, математики делают подобные вещи), он придумал аналогичное трехмерное многообразие. Пуанкаре построил его, склеив вместе два тора, но позже было найдено более элегантное решение с использованием додекаэдра. Речь шла о хитроумном варианте плоского трехмерного тора, который изготавливается посредством концептуального склеивания (отождествления) противоположных граней куба. Если проделать то же самое с додекаэдром и к тому же перед склеиванием повернуть каждую грань, то получится трехмерное многообразие — додекаэдрическое пространство. Подобно плоскому 3-тору, оно не имеет границы: все, что проходит внутрь сквозь грань, тут же появляется из противоположной грани. Оно имеет положительную кривизну и конечный размер.
Уикс проработал статистические характеристики флуктуаций реликтового излучения для случая, когда Вселенная представляет собой додекаэдрическое пространство, и обнаружил прекрасное совпадение с данными WMAP. Группа ученых под руководством Жана-Пьера Люмине пришла к выводу, что Вселенная такой формы должна иметь размер около 30 миллиардов световых лет в поперечнике — совсем неплохо. Однако недавние наблюдения, похоже, опровергают эту теорию, внушая разочарование всем поклонникам Платона на планете.
Трудно понять, каким образом мы могли бы доказать бесконечность Вселенной,
